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nanasf
@nanasf
January 2021
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Bonjour quelqu'un peut-il m'apporter son aide ?
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scoladan
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Bonjour,
1) Voir fichier Excel ci-joint
On peut conjecturer que (Un) est décroissante et converge vers 0
2) Au rang n = 0, Un = a avec a ∈ R+* ⇒ U₀ > 0
Supposons qu'au rang n, Un > 0
Au rang n+1 : Un+1 = Un * e^(-Un)
Pour tout x réel, eˣ > 0 ⇒ e^(-Un) > 0
et par hypothèse de récurrence, Un > 0
Donc Un * e^(-Un) > 0
⇔ Un+1 > 0
La propriété est donc héréditaire ⇒ pour tout entier naturel n, Un > 0
3) Un+1 - Un
= Un * [e^(-Un) - 1]
e^(-Un) = 1/e^(Un)
Un > 0 ⇒ e^(Un) > 1 ⇒ e^(-Un) < 1
⇒ e^(-Un) - 1 < 0
⇒ Un+1 - Un < 0
⇔ Un+1 < Un
⇒ (Un) est décroissante
4) (Un) est décroissante et minorée (Un > 0) ⇒ (Un) est convergente
lim Un quand n→+∞ = lim Un+1 quand n→+∞
Soit l cette limite.
On aurait alors : l = lim l * e^(-l)
lim l * e^(-l) = lim l/e^l = l/e^l
⇒ l = l/e^l
⇔ 1 = 1/e^l
⇔ e^l = 1
⇒ l = 0
Donc lim Un quand n→+∞ = 0
(Un) est donc convergente vers 0
La formule à saisir en :
B3 : =B1
B4 : = B3*EXP(-B3)
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Bonsoir, quelqu'un de bienveillant peut-il m'aider ? merci d'avance
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Nanasf
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Nanasf
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Je ne sais pas comment faire. de l'aide svp ??
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Nanasf
May 2019 | 0 Respostas
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Bonjour,1) Voir fichier Excel ci-joint
On peut conjecturer que (Un) est décroissante et converge vers 0
2) Au rang n = 0, Un = a avec a ∈ R+* ⇒ U₀ > 0
Supposons qu'au rang n, Un > 0
Au rang n+1 : Un+1 = Un * e^(-Un)
Pour tout x réel, eˣ > 0 ⇒ e^(-Un) > 0
et par hypothèse de récurrence, Un > 0
Donc Un * e^(-Un) > 0
⇔ Un+1 > 0
La propriété est donc héréditaire ⇒ pour tout entier naturel n, Un > 0
3) Un+1 - Un
= Un * [e^(-Un) - 1]
e^(-Un) = 1/e^(Un)
Un > 0 ⇒ e^(Un) > 1 ⇒ e^(-Un) < 1
⇒ e^(-Un) - 1 < 0
⇒ Un+1 - Un < 0
⇔ Un+1 < Un
⇒ (Un) est décroissante
4) (Un) est décroissante et minorée (Un > 0) ⇒ (Un) est convergente
lim Un quand n→+∞ = lim Un+1 quand n→+∞
Soit l cette limite.
On aurait alors : l = lim l * e^(-l)
lim l * e^(-l) = lim l/e^l = l/e^l
⇒ l = l/e^l
⇔ 1 = 1/e^l
⇔ e^l = 1
⇒ l = 0
Donc lim Un quand n→+∞ = 0
(Un) est donc convergente vers 0
La formule à saisir en :
B3 : =B1
B4 : = B3*EXP(-B3)