Verified answer

Bonjour,

Au rang n = 1 : S₁ = 1³ = 1 et : 1²(1 + 1)²/4 = 4/4 = 1 donc propriété vérifiée

On suppose donc qu'au rang n, Sn = n²(n + 1)²/4

Au rang (n + 1) :

Sn+1 = Sn + (n + 1)³

= n²(n + 1)²/4 + (n + 1)³ par hypothèse de récurrence

= [n²(n + 1)² + 4(n + 1)³]/4

= [n²(n + 1)² + 4(n + 1)(n + 1)²]/4

= (n + 1)²[n² + 4(n + 1)]/4

= (n + 1)²(n² + 4n + 4)/4

= (n + 1)²(n + 2)²/4

⇒ propriété héréditaire ⇒ récurrence démontrée