F(x)=x³-x√x+1, x≥0 on pose g(x)=f(x)-x√x=x³-2x√x+1 on étudie g sur [0;+∞[ g'(x)=3x²-(2√x+2x.1/(2√x)) =3x²-2√x-√x =3x²-3√x =(3√x)(x√x-1) g'(x)=0 ⇒ x=1 car x≠0 g'(x)>0 ⇒ x√x-1>0 ⇒ x>1 ⇒ g est décroissante sur ]0;1] et croissante sur [1;+∞[ ⇒ g admet un minimum en g(1)=0 ⇒ pour tout x>0 : g(x)≥0 ⇒ pour tout x>0 : f(x) ≥ x√x
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1D2010
est ce qu'il n y a pas une a paître méthode qui est plus simple que celle ci soit l'encadrement soit quelque chose
ProfdeMaths1
c'est la seule méthode (et la plus simple)
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F(x)=x³-x√x+1, x≥0on pose g(x)=f(x)-x√x=x³-2x√x+1
on étudie g sur [0;+∞[
g'(x)=3x²-(2√x+2x.1/(2√x))
=3x²-2√x-√x
=3x²-3√x
=(3√x)(x√x-1)
g'(x)=0 ⇒ x=1 car x≠0
g'(x)>0 ⇒ x√x-1>0 ⇒ x>1
⇒ g est décroissante sur ]0;1] et croissante sur [1;+∞[
⇒ g admet un minimum en g(1)=0
⇒ pour tout x>0 : g(x)≥0
⇒ pour tout x>0 : f(x) ≥ x√x