aymanemaysae Bonsoir ;

Voilà la solution comme promis .

Exercice n° 2 .

Tout d'abord , on a : sin(x + 5π/8) = sin(x + 4π/8 + π/8)
= sin((x + π/8) + π/2) = cos(x + π/8) ,

donc : tan(x + π/8) * sin(x + 5π/8) = tan(x + π/8) * cos(x + π/8)
= sin(x + π/8) = √3/2 = sin(π/3) ,

Résolvons l'équation : sin(x + π/8) = sin(π/3) .

sin(x + π/8) = sin(π/3) ,
donc : x + π/8 = π/3 + 2kπ ; k ∈ Z ou x + π/8 = π - π/3 + 2kπ ; k ∈ Z ,
donc : x + π/8 = π/3 + 2kπ ; k ∈ Z ou x + π/8 = 2π/3 + 2kπ ; k ∈ Z ,
donc : x = π/3 - π/8 + 2kπ ; k ∈ Z ou x = 2π/3 - π/8 + 2kπ ; k ∈ Z ,
donc : x = 5π/24 + 2kπ ; k ∈ Z ou x = 13π/24 + 2kπ ; k ∈ Z ,

Comme les solutions doivent être dans [0;π] on doit restreindre les intervalles qu'on a trouvés ci-dessus à [0;π] .

a) 0 ≤ 5π/24 + 2kπ ≤ π ; k ∈ Z ,
donc : 0 ≤ 5/24 + 2k ≤ 1 ; k ∈ Z ,
donc : - 5/24 ≤ 2k ≤ 19/24 ; k ∈ Z ,
donc : - 5/48 ≤ k ≤ 19/48 ; k ∈ Z ,
donc : k = 0 ,
donc la solution à retenir est : 5π/24 .

b) 0 ≤ 13π/24 + 2kπ ≤ π ; k ∈ Z ,
donc : 0 ≤ 13/24 + 2k ≤ 1 ; k ∈ Z ,
donc : - 13/24 ≤ 2k ≤ 11/24 ; k ∈ Z ,
donc : - 13/48 ≤ k ≤ 11/48 ; k ∈ Z ,
donc : k = 0 ,
donc la solution à retenir est : 13π/24 .

Conclusion : L'ensemble des solutions de l'équation (tan(x + π/8) * sin(x + 5π/8) = √3/2)
est : S = { 13π/24 ; 5π/24} .

Exercice n° 1 .