Réponse:

Exercice 5:

1) Pour montrer que pour tout $(a, b) \in \mathbb{R}^2$, si $a^2 + b^2 = 0$, alors $a = 0$ et $b = 0$, nous pouvons procéder par contraposée.

Supposons que $a \neq 0$ ou $b \neq 0$. Si $a \neq 0$, alors $a^2 > 0$. De même, si $b \neq 0$, alors $b^2 > 0$. Par conséquent, $a^2 + b^2 > 0$. Cela contrarie l'hypothèse selon laquelle $a^2 + b^2 = 0$. Donc, si $a^2 + b^2 = 0$, alors $a = 0$ et $b = 0$.

2) Pour montrer que pour tout $x \in \mathbb{R}^+$ et $y \in \mathbb{R}^+$, si $x + y + 2 = 2\sqrt{x} + 2\sqrt{y}$, alors $x = y = 1$, nous allons utiliser une autre approche.

En soustrayant 2 de chaque côté de l'équation, nous obtenons $x + y = 2\sqrt{x} + 2\sqrt{y} - 2$. Ensuite, nous pouvons réorganiser les termes :

$\sqrt{x} - 1 + \sqrt{y} - 1 = \sqrt{x} + \sqrt{y} - 2$, puisque $\sqrt{x} - 1 = \sqrt{x} - 1$, nous pouvons soustraire $\sqrt{x} - 1$ de chaque côté pour obtenir $\sqrt{y} - 1 = \sqrt{y}$.

Maintenant, nous soustrayons $\sqrt{y}$ de chaque côté pour obtenir $-1 = 0$.

Cela donne une contradiction, ce qui signifie que notre supposition initiale était fausse. Par conséquent, si $x + y + 2 = 2\sqrt{x} + 2\sqrt{y}$, alors $x = y = 1$.