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Bonjour,

f(x) = xeˣ/(eˣ + 1)

1) f'(x) = [(eˣ + xeˣ)(eˣ + 1) - xeˣeˣ]/(eˣ + 1)²

= (e²ˣ + eˣ + xeˣ)/(eˣ + 1)²

= eˣ(eˣ + x + 1)/(eˣ + 1)²

Il manque la partie A pour connaître g(x)...

Donc je suppose g(x) = eˣ + x + 1 (donc f'(x) est du signe de g(x))

soit g'(x) = eˣ + 1 > 0 ⇒ g croissante sur R

lim g(x) en -∞ = -∞, lim g(x) en +∞ = +∞

⇒ il existe un unique α ∈ R / g(α) = 0

On trouve α ≈ -1,278 à 10⁻³ près

On en a déduit le signe de g(x) :

x        -∞                 α                  +∞

g(x)               -         0         +

Et donc je reprends... les variations de f(x) :

x         -∞                 α                  +∞

f'(x)                -         0         +

f(x)         décrois.           croissante

2) f(α) = αe^α/(e^α + 1)

On sait que g(α) = 0 ⇔ e^α + α + 1 = 0

⇒ e^α + 1 = -α et αe^α = α(-α - 1)

donc f(α) = α(-α - 1)/-α = α + 1

On en déduit f(α) ≈ -1,28 + 1 = -0,28 à 10⁻² près

3)a)

T₀ : y = f'(0)x + f(0) = x/2

b) f(x) - y = xeˣ/(eˣ + 1) - x/2

= [2xeˣ - x(eˣ + 1)]/2(eˣ + 1)

= x(eˣ - 1)/(eˣ + 1)

(eˣ + 1) > 0

Donc f(x) - y est du signe de x(eˣ - 1) :

x          -∞                  0                  +∞

x                     -          0         +

eˣ - 1                -          0         +

f(x) - y              +         0          +

Donc la courbe est toujours au-dessus de la tangente T₀.

4) lim f(x) en -∞

= lim xeˣ     car lim (eˣ + 1) = 1

= 0             (théorème croissances comparées)

⇒ L'axe des ordonnées y = 0 est asymptote horizontale à la courbe (C).

5)a) lim f(x) en +∞

= lim x    car lim eˣ/(eˣ + 1) = lim eˣ/eˣ = 1

= +∞

b)

x    -∞                     α                    +∞

f(x)  0   décrois.      f(α)  croissante +∞

c) ci-dessous