Bonjour;

1)

On a lim(x --> - ∞) e^x = 0 et lim(x --> - ∞) x = - ∞ ;

donc : lim(x --> - ∞) e^x + x + 1 = - ∞ .

On a : lim(x --> + ∞) e^x = + ∞ et lim(x --> + ∞) x = + ∞ ;

donc : lim(x --> + ∞) e^x + x + 1 = + ∞ .

On a aussi : g ' (x) = (e^x + x + 1) ' = (e^x) ' + (x) ' + (1) '

= e^x + 1 + 0 = e^x + 1 > 0 ; donc g est strictement croissante

sur IR .

2)

g est une somme de fonctions continues sur IR ;

donc : g est continue sur IR .

On a : donc : lim(x --> - ∞) g(x) = - ∞ et lim(x --> + ∞) g(x) = + ∞ ;

donc en appliquant le théorème des valeurs intermédiaires ;

il existe une valeur α ∈ IR tel que g(α) = 0 .

Comme g est strictement croissante sur IR , alors cette valeur α

est unique .

On a : g(- 1,28) ≈ - 0,002 et g(- 1,27) ≈ 0,0108 ;

donc on a : - 1,28 ≤ α ≤ - 1,27 .

3)

On a : g strictement négative sur ]- ∞ ; α [ ;

et strictement positive sur ] α ; + ∞ [ .