Bonjour ;

1.

D'après le tableau , on a :

f(0) = 1 = 0 + 1 = 0² + 1 ;

f(1) = 2 = 1 + 1 = 1² + 1 ;

f(2) = 5 = 4 + 1 = 2² + 1 ;

f(3) = 10 = 9 + 1 = 3² + 1 ;

f(4) = 17 = 16 + 1 = 4² + 1 ;

f(5) = 26 = 25 + 1 = 5² + 1 .

On peut conjecturer que pour tout n nombre entier naturel ,

on a : f(n) = n² + 1 .

2.

En admettant la conjecture sus mentionnée , on a :

f(20) = 20² + 1 = 400 + 1 = 401 .

3.

Si la conjecture est vraie alors on a :

f(n) = n² + 1 = 2705 ;

donc : n² = 2705 - 1 = 2704 ;

donc : n = 52 .

4.

Si la conjecture est vraie alors on a :

f(n) = n² + 1 = 6899 ;

donc : n² = 6898 ;

donc : n ≈ 83,054 ∉ IN ;

donc il n'existe aucun n nombre entier naturel tel que f(n) = 6899 .