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Bonjour,

Exercice numéro 9 :

f(x) = -x³ + 12x² - 21x + 10

Df = R

première étape : dériver la fonction

f'(x) = -3x² + 24x - 21

On résoud f'(x) = 0 soit -3x² + 24x - 21 = 0

∆ = b² - 4ac = 24² - 4 × (-3) × 21 = 324

x1 = (-b - √∆)/2a = (-24 - 18)/(-6) = 7

x2 = (-b + √∆)/2a = (-24 + 18)/(-6) = 1

Tableau de variation (j'espère que ça sera lisible)

.............................................................

.x....|.-∞..........1....................7..............+∞

f'(x)|.......-.......0..........+.......0.......-.......

f(x).|........↓................↑.................↓........

Réponse :

9) étudier les variations de la fonction f définie sur R par

       f(x) = - x³ + 12 x² - 21 x + 10

    f est une fonction polynôme donc dérivable sur R  et sa dérivée f ' est

        f '(x) = - 3 x² + 24 x - 21

         Δ = 576 - 252 = 324  ⇒ √324 = 18

     x1 = - 24 + 18)/-6 = 1

     x2 = - 24 - 18)/- 6 = 7

          x    - ∞                             1                            7                      + ∞

       f '(x)                     -              0             +            0            -

variation   + ∞→→→→→→→→→→→→ 0 →→→→→→→→→→→ 108 →→→→→→→→→ - ∞

de f                   décroissante          croissante              décroissante

10) étudier les variations de la fonction f définie sur R par

          f(x) = (2 x + 3)/(x² + 1)

 la fonction f est dérivable sur R  car  2 x + 1 est dérivable sur R  et x² + 1 est dérivable sur R  donc  la fonction quotient est dérivable sur Df = R

sa dérivée est :  f '(x) = (2(x²+ 3) - 2 x(2 x + 3))/(x²+1)²

                                  = (2 x² + 6 - 4 x² - 6 x)/(x²+1)²

  donc f '(x) = (- 2 x² - 6 x + 6)/(x²+1)²    or  (x²+1)² > 0

donc  le signe de f '(x) dépend du signe de - 2 x² - 6 x + 6

Δ = 36 + 48 = 84  ⇒ √84 = 2√21

x1 = 6 + 2√21)/- 4 = (- 3/2 - √21/2)

x2 = 6 - 2√21)/- 4 = (- 3/2 + √21/2)

             x    - ∞                  x1                 x2               + ∞

         f '(x)               -          0         +        0         -

variation     0 →→→→→→→→→f(x1)→→→→→→ f(x2) →→→→→→→ 0

de f                 décroiss             croissante      décroissante  

Explications étape par étape :