Bonjour à tous, j'aurai besoin d'aide pour l'exercice 2, merci d'avance.... Pergunta de ideia deThomasdouillez

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Bonjour à tous, j'aurai besoin d'aide pour l'exercice 2, merci d'avance.

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Exercice 2

$f(x)=4\cos(\dfrac{x}{3}-\dfrac{\pi}{6})$

$1)a)\ f(x)=4\cos(\dfrac{x}{3}-\dfrac{\pi}{6})\\\\f(x)=4[\cos(\dfrac{x}{3})\cos(\dfrac{\pi}{6})+\sin(\dfrac{x}{3})\sin(\dfrac{\pi}{6})]\\\\f(x)=4[\cos(\dfrac{x}{3})\times\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\sin(\dfrac{x}{3})\times\dfrac{1}{2}]\\\\f(x)=\dfrac{4\sqrt{3}}{2}\cos(\dfrac{x}{3})+\dfrac{4}{2}\sin(\dfrac{x}{3})\\\\\boxed{f(x)=2\sqrt{3}\cos(\dfrac{x}{3})+2\sin(\dfrac{x}{3})}$

$b)\ 9y''+y=0\Longleftrightarrow y''+\dfrac{1}{9}y=0$

Cette équation différentielle est donc de la forme $y''+\omega^2y=0$ avec $\omega=\dfrac{1}{3}$

Par conséquent, les solutions de cette équations sont de la forme $\boxed{A\cos(\dfrac{x}{3})+B\sin(\dfrac{x}{3})}$ avec A et B deux constantes réelles.

$c)\ f(x)=2\sqrt{3}\cos(\dfrac{x}{3})+2\sin(\dfrac{x}{3})\\\\f'(x)=-\dfrac{2\sqrt{3}}{3}\sin(\dfrac{x}{3})+\dfrac{2}{3}\cos(\dfrac{x}{3})\\\\f''(x)=-\dfrac{2\sqrt{3}}{9}\cos(\dfrac{x}{3})-\dfrac{2}{9}\sin(\dfrac{x}{3})$

D'où

$9y''+y=9\times[-\dfrac{2\sqrt{3}}{9}\cos(\dfrac{x}{3})-\dfrac{2}{9}\sin(\dfrac{x}{3})]+2\sqrt{3}\cos(\dfrac{x}{3})+2\sin(\dfrac{x}{3})\\\\\\9y''+y=-2\sqrt{3}\cos(\dfrac{x}{3})-2\sin(\dfrac{x}{3})+2\sqrt{3}\cos(\dfrac{x}{3})+2\sin(\dfrac{x}{3})\\\\\boxed{9y''+y=0}$

Par conséquent, f est une solution de l'équation différentielle 9y"+y=0.

$2)\ f(x)=4\\\\4\cos(\dfrac{x}{3}-\dfrac{\pi}{6})=4\\\\\cos(\dfrac{x}{3}-\dfrac{\pi}{6})=1\\\\\\\dfrac{x}{3}-\dfrac{\pi}{6}=2k\pi\ \ (k\in\mathbb{Z})\\\\\\\dfrac{x}{3}=\dfrac{\pi}{6}+2k\pi\ \ (k\in\mathbb{Z})\\\\\\x=3\times\dfrac{\pi}{6}+3\times2k\pi\ \ (k\in\mathbb{Z})\\\\\\\boxed{x=\dfrac{\pi}{2}+6k\pi\ \ (k\in\mathbb{Z})}$

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