Bonjour je suis bloqué sur cette exercice, quelque peux m'aider? Merci d'avance (uniquement l'exercice 2)
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syogier
Bonjour, (-1)³ +3(-1)²-1-1 = -1+3-1-1 =0 ; -1 est bien racine au numérateur 3(-1)² -1-2 = 3-1-2 =0 ; -1 est bien racine au dénominateur Le numérateur peut s'écrire (x+1)(ax²+bx+c) = ax³+bx²+cx+ax²+bx+c = ax³ +(b+a)x² +(b+c)x +c = x³+3x²+x-1: on en déduit a =1, b=2 et c= -1 alors le numérateur s'écrit (x+1) (x²+2x-1) le dénominateur étant un polynôme du second degré avec une racine évidente x= -1, le produit des racines xx' = c/a = -2/3 d'où x' =2/3 le dénominateur sous sa forme factorisée s'écrit 3(x+1)(x-2/3) f(x) se simplifie par (x+1) ; f(x) = x²+2x-1 /(3x-2) bien définie sur son domaine de définition ]2/3 ; +∞[ 3) lim f(x) x→2/3+ = (2/3)² +2(2/3)-1 /0+ = 4/9+4/3-9/9/ 0+ = 7/9 /0+ = +∞ lim f(x) x→+∞ = lim x²/3x x→+∞ = lim 1/3x x→+∞ =+∞ 4)f est de la forme u/v alors f' est de la forme u'v-uv' /v² avec u(x) =x²+2x-1, u'(x) = 2x+2, v(x) =3x-2 et v'(x) =3 f'(x) = (2x+2)(3x-2) - 3(x²+2x-1) / (3x-2)² = 6x²-4x+6x-4-3x²-6x+3 /(3x-2)² = 3x²-4x-1 /(3x-2)² 5) le sens de variation de f, dépend du signe de sa dérivé f ' or (3x-2)² est toujours positif donc le signe de f'(x) dépend de 3x²-4x-1 f'(x) = 0 => 3x²-4x-1 = 0 , calcul du discriminant Δ =b²-4ac = (-4)² -4*-3 = 16+12 =28 , Δ positif donc 2 racines x = -b-√Δ /2a et x'=-b+√Δ /2a x=4-2√7 /6 =(2-√7) /3 et x' = (2+√7)/3 f'(x) est une fonction polynome du second degré de la forme ax²+bx+c avec a>0 donc la représentation graphique est une parabole de la forme ∪ f '(x) est du signe de a , en dehors des racines et du signe de -a entre les racines: Tableau de signe : x : -∞ (2-√7)/3 2/3 (2+√7) /3 +∞ f'(x) + - - + En tenant compte du domaine de définition de f(x) f(x) non définie || décroissante croissante une asymptote verticale : x=2/3 L'asymptote oblique est une droite y =ax+b avec a = lim f '(x) x→∞ = 3x²/9x² a= 1/3 b = lim (f(x)-ax) x→∞ = x²+2x-1/3x-2 -x/3 on met tout au même dénominateur b= 3(x²+2x-1) - x(3x-2) / 3(3x-2) = 3x²+6x-3-3x²+2x /9x-6 =8x-3 /9x-6 b = 8/9 l'équation de l'asymptote oblique est y = 1/3x + 8/9
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thomasdouillez
Merci beaucoup vous êtes génial, si je pouvais j'vous donnerai tout mes points
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(-1)³ +3(-1)²-1-1 = -1+3-1-1 =0 ; -1 est bien racine au numérateur
3(-1)² -1-2 = 3-1-2 =0 ; -1 est bien racine au dénominateur
Le numérateur peut s'écrire (x+1)(ax²+bx+c) = ax³+bx²+cx+ax²+bx+c
= ax³ +(b+a)x² +(b+c)x +c = x³+3x²+x-1: on en déduit a =1, b=2 et c= -1
alors le numérateur s'écrit (x+1) (x²+2x-1)
le dénominateur étant un polynôme du second degré avec une racine évidente x= -1, le produit des racines xx' = c/a = -2/3 d'où x' =2/3
le dénominateur sous sa forme factorisée s'écrit 3(x+1)(x-2/3)
f(x) se simplifie par (x+1) ; f(x) = x²+2x-1 /(3x-2) bien définie sur son domaine de définition ]2/3 ; +∞[
3) lim f(x) x→2/3+ = (2/3)² +2(2/3)-1 /0+ = 4/9+4/3-9/9/ 0+ = 7/9 /0+ = +∞
lim f(x) x→+∞ = lim x²/3x x→+∞ = lim 1/3x x→+∞ =+∞
4)f est de la forme u/v alors f' est de la forme u'v-uv' /v² avec
u(x) =x²+2x-1, u'(x) = 2x+2, v(x) =3x-2 et v'(x) =3
f'(x) = (2x+2)(3x-2) - 3(x²+2x-1) / (3x-2)² = 6x²-4x+6x-4-3x²-6x+3 /(3x-2)²
= 3x²-4x-1 /(3x-2)²
5) le sens de variation de f, dépend du signe de sa dérivé f ' or (3x-2)² est toujours positif donc le signe de f'(x) dépend de 3x²-4x-1
f'(x) = 0 => 3x²-4x-1 = 0 , calcul du discriminant Δ =b²-4ac = (-4)² -4*-3 = 16+12 =28 , Δ positif donc 2 racines x = -b-√Δ /2a et x'=-b+√Δ /2a
x=4-2√7 /6 =(2-√7) /3 et x' = (2+√7)/3
f'(x) est une fonction polynome du second degré de la forme ax²+bx+c avec a>0 donc la représentation graphique est une parabole de la forme ∪
f '(x) est du signe de a , en dehors des racines et du signe de -a entre les racines:
Tableau de signe :
x : -∞ (2-√7)/3 2/3 (2+√7) /3 +∞
f'(x) + - - +
En tenant compte du domaine de définition de f(x)
f(x) non définie || décroissante
une asymptote verticale : x=2/3
L'asymptote oblique est une droite y =ax+b avec a = lim f '(x) x→∞ = 3x²/9x²
a= 1/3
b = lim (f(x)-ax) x→∞ = x²+2x-1/3x-2 -x/3
on met tout au même dénominateur
b= 3(x²+2x-1) - x(3x-2) / 3(3x-2) = 3x²+6x-3-3x²+2x /9x-6 =8x-3 /9x-6
b = 8/9
l'équation de l'asymptote oblique est y = 1/3x + 8/9