Bonjour à tous, j'aurai besoin d'aide pour l'exercice 4, merci d'avance.... Pergunta de ideia deThomasdouillez

May 2019 1 50 Report

Bonjour à tous, j'aurai besoin d'aide pour l'exercice 4, merci d'avance.

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Exercice 4

Soit X la variable aléatoire représentant le nombre d’objets défectueux contenus dans l’échantillon.

5% = 0,05

Cette variable X suit une loi binomiale de paramètres n = 200 et p = 0,05.

1) Quelle est la probabilité qu’aucun objet ne soit défectueux ?

$p(X=0)=\\\\p(X=0)=1\times1\times0,95^{200}\\\\p(X=0)\approx3,5\times10^{-5}\\\\\boxed{p(X=0)\approx0,000035}$

Par conséquent, la probabilité qu’aucun objet ne soit défectueux est environ égale à 0,000 035.

2) Quelle est la probabilité qu’un seul objet soit défectueux ?

$p(X=1)=\begin{pmatrix}200\\1\end{pmatrix}\times0,05^1\times(1-0,05)^{200-1}\\\\p(X=1)=200\times0,05\times0,95^{199}\\\\\boxed{p(X=1)\approx3,68975\times10^{-4}\approx0,00037}$

Par conséquent, la probabilité qu’un seul objet soit défectueux est environ égale à 0,000 37.

3) Quelle est la probabilité qu’au plus 3 objets soient défectueux ?

$p(X\le3)=p(X=1)+p(X=2)+p(X=3)\\\\p(X\le3)=0,00037+\begin{pmatrix}200\\2\end{pmatrix}\times0,05^2\times(1-0,05)^{200-2}\\\\+\begin{pmatrix}200\\3\end{pmatrix}\times0,05^3\times(1-0,05)^{200-3}\\\\\\\boxed{p(X\le3)\approx0,009}$

4) Espérance mathématique et écart-type.

$E(X)=np=200\times0,05\Longrightarrow\boxed{E(X)=10}\\\\\\V(X)=npq=200\times0,05\times0,95\Longrightarrow V(X)=9,5}\\\\\\\sigma(X)=\sqrt{V(X)}=\sqrt{9,5}\Longrightarrow\boxed{\sigma(X)\approx3,08}$

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