Réponse :

Bonjour : on modifie l'écriture de g(x) pour déterminer plus facilement les limites

g(x)=(e^x)(x-1) +1

Explications étape par étape :

g(x)=(e^x)(x-1) + 1

1)Df=R

limites

si x tend vers -oo , (e^x)(x-1) tend vers 0 car la fonction x*e^x  tend vers 0 en -oo (cours)  donc g(x) tend vers+1

si x tend vers +oo, , g(x) tend vers+oo

2) Dérivée g'(x)=(e^x)(x-1)+(e^x)=x(e^x)

e^x étant >0, le signe de g'(x)  dépend du signe de x

3)Tableau de signes de g'(x) et de variations de g(x)

x      -oo                           0                              +oo

g'(x)               -                  0              +                      

g(x  )+1 .....Décroi.............g(0)  ........Croi..............+oo

4) on note que g(0)=0-1+1=0

g(x)est >0 sur R*    (toujours  >0 sauf pour x=0)