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on pose a=54√3+41√5 et b=54√3-41√5

on sait que a+b=(a^(1/3)+b^(1/3)(a^(2/3)-a^(1/3).b^(1/3)+b^(2/3))

or a^(2/3)=(a²)^(1/3)=(17153+4428√15)^(1/3)

et b^(2/3)=(b²)^(1/3)=(17153-4428√15)^(1/3)

alors a^(2/3)+b^(2/3)=34

de même ab=343 donc a^(1/3).b^(1/3)=7

ainsi a^(2/3)-a^(1/3).b^(1/3)+b^(2/3)=27

or a+b=108√3

donc a^(1/3+b^(1/3)=(108√3)/27=4√3

donc A=(a^(1/3)+b^(1/3)/√3

donc A=(4√3)/√3

donc A=4 alors A∈IN