Bonjour,

Ouah, l'exo n'est vraiment pas évident pour un lycéen (c'est faisable mais ça ressemble plus à un exo de prépa)...

Réponse :

1a) et le membre de gauche est divisible par d, donc d divise 2, donc vaut 1 ou 2.

• Si n est impair, alors et sont pairs, donc d divise 2, donc d=2.
• Sinon, 2 ne divise pas d donc d=1.

1b) Supposons que . Alors et donc . Donc en simplifiant par m, on a n=0, ce qui contredit .

2a)

• Si c est un diviseur de a et de , alors c est premier avec b puisqu'il divise a. Donc par le théorème de Gauss, comme c divise , c divise b, donc c = 1. Donc .
• Le théorème de Gauss montre que a divise n+1, donc et divise , donc . De plus, 1b) montre que (donc ), donc que (donc ). Ainsi, .

2b) Supposons le contraire. D'après 1a), donc par le théorème de Gauss et 2a), n+1 divise a (même n+1=a), ce qui contredit .

2c) En remplaçant dans l'égalité et en simplifiant par 2, on a . Comme , le théorème de Gauss montre que a divise q et q divise a, donc . De même, .

2d) On a 3 équations à 3 inconnues: donc après résolution, on a a=4, b=5, n=7.

Explications étape par étape

1a) On effectue une division euclidienne de par pour obtenir le résultat (c'est en fait l'algorithme d'Euclide pour trouver le pgcd).

1b) Le seul diviseur positif de 1 est lui-même.

2a) Si c n'est pas premier avec b, alors est un diviseur commun à a et b différent de 1, ce qui contredit . Ensuite, quand on obtient que c divise b, l'idée est que c est un diviseur commun à a et b, donc , donc c=1.

2b) Le n+1=a vient du fait que l'on puisse appliquer le théorème de Gauss avec a et , ce qui donne a divise n+1. Comme n+1 divise aussi a, on a égalité.

2c) Même idée que 2b).

2d) Il faut faire les calculs. Si je numérote les équations de (1) à (3), avec (2) et (3) tu trouves n=2b-3 et en passant au carré et avec (1) tu as . Et b=1 donne a=0 ce qui est impossible, donc b=5. Donc n=2b-3=7 et a=b-1=4.