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Bonjour,

1) en notation complexe :

U₁ = Z₁I = I/jC₁ω ⇒ I = jC₁ωU₁

U₂ = I/Y₂₃ avec Y₂₃ = Y₂ + Y₃ = 1/Z₂ + 1/Z₃ = jC₂ω + jC₃ω = j(C₂ + C₃)ω

soit U₂ = I/j(C₂ + C₃)ω

⇒ U₂ = jC₁ωU₁/j(C₂ + C₃)ω

⇔ U₂ = C₁U₁/(C₂ + C₃)

C₂ + C₃ = C₁/2 + C₁ = 3C₁/2

⇒ U₂ = C₁U₁/(3C₁/2) = 2U₁/3

2) Loi de la maille :

E = Ur + U₁ + U₂

⇔ E = RI + U₁ + 2U₁/3

⇔ E = R x C₁dU₁/dt + 5U₁/3

⇔ U₁ + 3RC/5 x dU₁/dt = 3E/5

3) En remplaçant U₁(t) par son expression dans l'équation différentielle précédente :

A(1 - e^-λt) + 3RC₁/5 x Aλe^-λt = 3E/5

⇔ (3λRC₁/5 - 1)Ae^-λt + A = 3E/5

⇒ quand t → +∞, e^-λt → 0 ⇒ A = 3E/5

et à t = 0, e^-λt = 1 ⇒ λ = 5/3RC₁

4) Ur(t) = R x i(t)

= R x C₁ x dU₁/dt

= RC₁ x Aλe^-λt

= RC₁ x 3E/5 x 5/3RC₁ x e^-λt

= E x e^-λt

5)

5.1) graphiquement : A = 12 V ⇒ E = 5A/3 = 20 V

5.2) U₁(t) = Ur(t)

⇔ 3E/5 x (1 - e^-λt) = E x e^-λt

⇔ 3/5 = e^-λt x (1 + 3/5)

⇔ e^-λt = 3/8

⇒ t = ln(3/8)/(-λ)

5.3) t = 2,9425 s

⇒ λ = -ln(3/8)/2,9425 ≈ 0,33333

⇒ RC₁ = 5/3λ = 5 s

⇒ C₁ = 5/10³ = 5 mF

⇒ C₂ = C₁ = 2,5 mF et C₃ = C₁ = 5 mF