Réponse :

1) montrer que l'aire de ce polygone est f(x) = x² - 14 x + 64

l'aire du carré est : Ac = (8 - x)² = 64 - 16 x + x²

l'aire du triangle rectangle isocèle en H est :  Atr = 1/2( x/2*x/2) = x²/8

l'aire du trapèze est :At= (x/2 + (8 - x)]/2) * x/2 = - x²/8 + 2 x

l'aire du polygone est : Ac + Atr + At = 64 - 16 x + x² + x²/8 - x²/8 + 2 x

                                                             = 64 - 14 x + x²

  2) quel est l'ensemble de définition de f

                         [0 ; 8]

  3) résous f(x) = 0

f(x) = x² - 14 x + 64 = 0

Δ = 14² - 4*64 = 196 - 256 = - 60 < 0 pas de solutions

4) donner la forme canonique de f

f(x) = x² - 14 x + 64

la forme canonique de f est : f(x) = a(x - α)² + β

a = 1

α = -b/2a = 14/2 = 7

β = f(α) = f(7) = 7² - 14*7 + 64

                    = 49 - 98 + 64

                    =  113 - 98 = 15

f (x) = (x - 7)² + 15

5) résous f(x) = 19

   f(x) = (x-7)² + 15 = 19 ⇔ (x-7)² - 4 = 0 = (x-7+2)(x-7-2)

⇔ (x - 5)(x-9) = 0 ⇒ x-5 = 0 ⇒ x = 5 OU x-9 = 0 ⇒ x = 9

6) étudier les variations de f  et en déduire la valeur de x telle que cette aire est minimale

x      0                     7                    8

f(x)   64 →→→→→→→ 15 →→→→→→→→ 16

             décroissante  croissante

f (x) est décroissante entre [0 ; 7]

f(x) est croissante entre [7 ; 8]

l'aire est minimale et vaut 15 cm² pour x = 7 cm

Explications étape par étape