Réponse :

Explications étape par étape

1)I est le milieu de [BC] donc

xI=(xC+xB)/2=7/2  et yI=(yC+yB)/2=-1/2     I(7/2; -1/2)

Coordonnées du vecAC:

xAC= xC-xA=6-3=3   et yAC=yC-yA=-2-4=-6  

vecAC(3;-6) donc vecCA(-3;+6)

E est l'image de A par translation de vecteur=(1/3)vecAC

xE=xA+(1/3)xAC=3+(1/3)*3=4  et yE=yA+(1/3)yAC=4+(1/3)*(-6)=2  E(4; 2)

F est l'image de C par translation de vecteur (1/3)CA

xF=xC+(1/3)xCA=6+(1/3)*(-3)=5  et yF=yC+(1/3)yCA=-2+(1/3)(6)=0  F(5; 0)

2-a)Coordonnées du vecBE (3; 1)

coordonnées du vecIF : x IF=5-7/2=3/2   et yIF=0-(-1/2)=+1/2    vecIF(3/2;1/2)

On constate que vecBE=2*vecIF   ces deux vecteurs sont donc colinéaires.

2-b) Les droites (BE) et (IF) sont //

3) ABCD est un parallélogramme si vecBA=vecCD

les coordonnées de vecBA  (3-1=2 et 4-1=3)    vecBA(2: 3)

les coordonnées de vecCD  (8-6=2  et 1-(-2)=3)   vecCD(2; 3)

ABCD est don un parallélogramme

4a)norme de AC  :

AC=rac[(xC-xA)²+(yC-yA)²]=rac[3²+(-6)²]=rac45=3rac5

4-b) ABCD qui est déjà un parallélogramme est un rectangle si ses diagonales sont égales

BD=rac[(xD-xB)²+(yD-yB)²] =rac(7²+0²)=7

BD n'étant pas égale à AC , ABCD n'est pas un rectangle.

5) les points I, Fet D sont alignès si vecID=k*vecIF

vecIF(3/2; 1/2) calculé précédemment

vecID  xID=xD-xI=8-7/2=9/2 et yID=1+1/2=3/2   vecID(9/2; 3/2)

On constate que vecID=3*vecIF ces deux vectueurs sont donc colinéaires et comme ils ont un point commun,  les points I, F et D sont alignés.