Réponse :

Explications étape par étape :

■ bonjour Olamie !

■ problème 1 :   Za = 1 + i ; Zb = 3 - i ;

   Zi = 2 ( car le point I est le milieu de [ AB ] ) .

■ 2°) Za ' = (1+i)² - 4(1+i) = 2i - 4 - 4i = -4 - 2i .

        Zb ' = (3-i)² - 4(3-i) = 8 - 6i - 12 + 4i = -4 - 2i aussi !

        donc les points A ' et B ' sont confondus !

■ 3°) Z² - 4Z = -5 donne Z² - 4Z + 5 = 0

   donc Δ = b²-4ac ♥ = 16 - 20 = -4 = (2i)²

   d' où les solutions Zc = 2 - i ; Ze = 2 + i .

  Les points cherchés sont C ( Zc = 2-i ) et F ( Zf = 2+i ) .  

    vérif avec Zf = 2+i

      --> (2+i)² - 4(2+i) = 3 + 4i - 8 - 4i = -5 vérifié !

■ 4a) Z ' + 4 = Z² - 4Z + 4 = ( Z - 2 )² vérifié !

■ 4b) | Z ' + 4 | = | Z - 2 | ²

         je te laisse chercher la relation entre les arguments ( les "angles" ! ) .

■ 4c) l' équation du Cercle de centre I ( 2 ; 0 ) et de Rayon 2 est :

         (x-2)² + y² = 2² --> x² - 4x + 4 + y² = 4 --> x² - 4x + y² = 0

        Le point M ' décrit un cercle de centre J ( -4 ; 0 ) et de Rayon 4

         --> équation du cercle image : (x+4)² + y² = 16 --> x²+8x+y² = 0 .

■ 5a) distance IE = 2 ; et angle(u ; IE) = π/3 .

■ 5b) Ze = 2 + 2 cos(π/3) + 2i sin(π/3) = 2 + 1 + i√3 = 3 + i√3 .

         Ze ' = (3+i√3)² - 4(3+i√3) = 6 + 6i√3 - 12 - 4i√3 = -6+2i√3 .

         distance JE ' = ?

        Ze ' - Zj = -6+2i√3 + 4 = -2+2i√3 = 4(-0,5 + 0,5i√3)

         donc distance JE ' = 4 ; et angle(u ; JE') = 2π/3 .  

■ 5c) piquer le compas en J , ouvert à 4 cm , tracer le cercle de centre J . Repiquer le compas à l' origine du repère O(0;0) toujours ouvert à 4 cm , puis tracer un arc en haut à gauche . Enfin, repiquer le compas toujours ouvert à 4 cm sur le point d' interception, et tracer un dernier arc à gauche . Le point d' interception de ce dernier arc avec le cercle centré en J est le point E ' !