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On a tracé un quart de cercle de centre A et de rayon 5.
AMNP est un rectangle avec M appartenant à [AB]. N au quart de cercle et P à [AC].
N
A
MB
La longueur AM (en cm) varie quand on déplace M sur [AB]. On pose AM=x
1. Entre quelles valeurs x peut-il varier ?
2. Déterminer la fonction f qui associe à x l'aire du rectangle AMNP.
3. Utiliser la calculatrice pour trouver la valeur de x pour laquelle l'aire est maximale.
Quelle est la valeur de cette aire ?
On a tracé un quart de cercle de centre A et de rayon 5.
AMNP est un rectangle avec M appartenant à [AB]. N au quart de cercle et P à [AC].
N
A
MB
La longueur AM (en cm) varie quand on déplace M sur [AB]. On pose AM=x
1. Entre quelles valeurs x peut-il varier ?
2. Déterminer la fonction f qui associe à x l'aire du rectangle AMNP.
3. Utiliser la calculatrice pour trouver la valeur de x pour laquelle l'aire est maximale.
Quelle est la valeur de cette aire ?
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1. La longueur AM peut varier entre 0 et 5, puisque M peut être à n'importe quel point de [AB] et le rayon du cercle est de 5.
2. La fonction f(x) qui associe à x l'aire du rectangle AMNP est donnée par f(x) = x * (5 - √(25 - x^2)).
3. Utilisez la calculatrice pour trouver la valeur de x pour laquelle l'aire est maximale en cherchant le maximum de la fonction f(x). La valeur de x correspondante donnera la longueur AM optimale, et l'aire maximale sera f(x) à ce point.
Réponse :
Explications étape par étape :
1) [ 0, 5]
2) Aire du rectangle = Longueur * largeur
Longueur = AM = x
on fait Pythagore pour trouver la largeur = NM
ANM est un triangle rectangle en M et AN est l'hypoténuse
donc AN² = AM² + NM²
5² = x² + NM²
25 = x² + NM²
NM² = 25 - x² NM = √(25 - x²)
donc Aire du rectangle AMNP = √(25 - x²)x
soit f(x) = √(25 - x²)x
3) En utilisant la calculatrice, on peut déterminer que l’aire est maximale pour x ≈ 5/√2 ≈ 3,53
Pour cette valeur de x, l’aire maximale est d’environ 25/2 = 12,5