BOnjour,
c'est un exercice de proba, (fonction de répartition et dénsité)
je vous ai mis ce que j'ai déjà fais et ensuite je ne comprends pas comment obtenir la fonction de répartition de Z² si vous pouviez m'expliquer la méthode
merci
c'est un exercice de proba, (fonction de répartition et dénsité)
je vous ai mis ce que j'ai déjà fais et ensuite je ne comprends pas comment obtenir la fonction de répartition de Z² si vous pouviez m'expliquer la méthode
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Explications :Soit X la variable aléatoire de densité f(t)=1/√(2π).exp(-1/2t²)
la fonction de répartition associée à f est : Ф(t)=∫f(t).dt sur ]-∞;t]
On note X1 et X2 2 v.a. de densité f1 et f2 suivant une loi Normale centrée-réduite N(0,1)
on suppose que X1 et X2 sont indépendantes
on note Z=min(X1,X2)
la fonction de répartition de Z est (par définition) :
F(t)=P(Z≤t)=1-P(Z>t)
donc F(t)=1-P(min(X1,X2)>t)
or on sait que min(a,b)<a et min(a,b)<b
donc F(t)=1-P((X1>t)∩(X2>t))
or P(A∩B)=P(A)*P(B) si A et B sont indépendantes
donc F(t)=1-P(X1>t)*P(X2>t)
de plus X1 et X2 suivent une loi N(0,1)
donc P(X1≤t)=P(X2≤t)=Ф(t)
donc P(X1>t)=P(X2>t)=1-Ф(t)
donc F(t)=1-(1-Ф(t))²
donc F(t)=1-(Ф²(t)-2Ф(t)+1)
soit F(t)=-Ф²(t)+2Ф(t)