Réponse :

Re bonjour

Explications étape par étape

1)

ACE est rectangle isocèle donc :

angle ACE=45°

De même :

angle FCB=45°

Angle ACB=180°

Angle ECF=180°-45°-45°=90°

Donc : ...

2)

Angle CEG=90°

Angle CFG=90°

Le quadrilatère ECFG a 3 angles droits : c'est donc un rectangle.

3)

[EF] et [CG] sont les deux diagonales du rectangle EFCG. Elles se coupent donc en leur milieu M.

4)

(IJ) est droite des milieux dans le triangle AGB donc :

(IJ) // (AB)

(IM) est droite des milieux dans le triangle AGC donc :

(IM) // (AB).

Par un point I , il ne passe qu'une seule droite // à la droite (AB).

Donc (IM) et (IJ) sont une seule et  même droite .

Donc :

Les points I, M et J sont alignés sur la droite des milieux du triangle AGB.

5)

Là, je ne suis pas sûr de faire au plus court !!

Soit K le projeté orthogonal de G sur [AB].

Le  triangle BKG est rectangle-isocèle en K car angle KBG=45°.

Donc :

GK=KB

Mais AGC est isocèle en G car angle A=^B=45°

Donc : K milieu de [AB].

Donc :

GK=AB/2

Dans le triangle CKG , (HM) est droite des milieux car :

(HM) // (GK) et M milieu de [CG].

Donc :

HM=GK/2

HM=AB/4

6)

Désolé mais je suis pressé.

Tu vas montrer que :

EP=PC=AC/2

FQ=QB=CB/2

EP+FQ=(AC+CB)/2=AB/4

Moyenne :

(EP+FQ)/2=AB/4

Et :

HM=AB/4

Donc ...