bjr

le premier cercle a pour centre O₁, rayon r

le deuxième cercle a pour centre O₂, rayon R

Soit E le point de contact des deux cercles

       • Les point O₁, E et O₂ sont alignés  :  O₁O₂ = r + R

la perpendiculaire menée de O₁ à (O₂B) coupe O₂B en H

O₁ABH est un rectangle

      • AB = O₁H  (1)

     • O₂H = R - r

dans le triangle O₁O₂H rectangle en H

O₁O₂² = O₁H² + HO₂²   (Pythagore)

(R + r)²= O₁H² + (R - r)²

O₁H² = (R + r)² - (R - r)²               (a² - b² on factorise)

O₁H² = [(R + r) - (R - r)] [ (R + r) + (R - r)]

        = (R + r - R + r)(R + r + R - r)  

        =         (2r)       x     (2R)

        = 4rR

d'après (1)

AB² = 4rR