Réponse:

Pour répondre à cet exercice, commençons par vérifier que l'aire de l'enclos A(x) est bien donnée par A(x) = -2x^2 + 28x.

1. Vérification de l'aire de l'enclos A(x):

L'enclos a trois côtés grillagés et un côté constitué du mur de la ferme. La somme des longueurs des côtés grillagés est 2x (les deux côtés parallèles au mur) + x (le côté perpendiculaire au mur). Donc, la circonférence de l'enclos est 2x + x = 3x.

L'aire de l'enclos est donnée par la multiplication de la circonférence par la longueur du côté adjacent au mur (1 côté grillagé x 1 côté non grillagé).

A(x) = 3x * x = 3x^2

2. Montrons maintenant que la forme canonique de A(x) est -2 * (x - 7)^2 + 98.

Pour cela, développons -2 * (x - 7)^2:

-2 * (x - 7)^2 = -2 * (x^2 - 14x + 49) = -2x^2 + 28x - 98

Maintenant, comparons cela à la fonction A(x):

A(x) = -2x^2 + 28x

Nous constatons que les deux expressions sont équivalentes, donc la forme canonique de A(x) est bien -2 * (x - 7)^2 + 98.

3. Identifier la courbe qui représente la fonction A : C'est la courbe R3.

4. Tableau de variations de la fonction A :

- A'(x) = -4x + 28 (la dérivée de A(x))

- A'(x) = 0 lorsque -4x + 28 = 0

- -4x + 28 = 0

- -4x = -28

- x = 7

Donc, le maximum de l'aire de l'enclos se produit lorsque x = 7.

5. Valeur maximale de l'aire de l'enclos :

A(7) = -2 * (7 - 7)^2 + 98 = 98

L'aire maximale de l'enclos est de 98 m² lorsque la longueur du côté perpendiculaire au mur est de 7 mètres.