Réponse:

Bonjour ! Pour résoudre l'inéquation (1 - e^x)(1 + x) ≥ 0, vous pouvez suivre ces étapes :

1. Trouvez les points où l'expression du côté gauche (1 - e^x)(1 + x) s'annule. Ces points correspondent aux valeurs de x pour lesquelles l'inéquation peut être égale à zéro.

2. Examinez les signes de l'expression (1 - e^x)(1 + x) dans les intervalles formés par les points trouvés à l'étape 1.

3. Déterminez dans quels intervalles l'expression est positive ou nulle, car c'est là que l'inéquation est vérifiée.

Commençons par la première étape, en trouvant où l'expression s'annule :

(1 - e^x)(1 + x) = 0

Pour cela, nous avons deux facteurs : (1 - e^x) et (1 + x). L'équation sera égale à zéro si l'un ou l'autre de ces facteurs est égal à zéro.

Premier facteur :

1 - e^x = 0

e^x = 1

Cela se produit lorsque x = 0.

Deuxième facteur :

1 + x = 0

x = -1

Maintenant que nous avons trouvé les points x = 0 et x = -1, nous allons examiner les signes de l'expression dans les intervalles formés par ces points :

1. Pour x < -1 : Les deux facteurs (1 - e^x) et (1 + x) sont négatifs. Donc, le produit est positif : (1 - e^x)(1 + x) > 0.

2. Pour -1 < x