Bonjour, j'ai un dm à rendre lundi, mais je bloque carrément sur les deux derniers exercices, pourriez-vous s'il vous plaît m'aider ?
Exercice 4:
Soit (un ) la suite définie par u0 = 100 et pour tout entier naturel n, un +1 = 0,8un + 3.
1.a. Calculer u1 et u2.
b. La suite est-elle arithmétique ? géométrique ? Justifier votre réponse.
2. Soit (vn ) la suite définie pour tout entier naturel n, par vn =un −15.
a. Calculer v 0 , v 1 et v 2. Démontrer que (vn ) est une suite géométrique et préciser sa raison.
b. En déduire une expression de vn en fonction de n
c. Justifier que pour tout entier naturel n, un 85 0,8 15.
= × n +
3. Étudier le sens de variation de la suite (un ).
4. On considère l’algorithme suivant.
Variables n entier, u réel
Initialisation u prend la valeur 100
n prend la valeur 0
Traitement tant que u > 15,001
n prend la valeur n+1
u prend la valeur 0.8u+3
fin tant que
Sortie Afficher n
Que permet de trouver cet algorithme ? Le programmer sur votre calculatrice et donner le résultat que
vous obtenez.
5. Exprimer en fonction de n les sommes suivantes.
S =v 0 +v 1+...+vn et S ' =u0 +u1+...+un .
Exercice 5
On suppose que chaque année, la production d’une usine subit une baisse de 2 %. Au cours de l’année
2005, la production a été de 20 000 unités. On note P0 = 20000 et Pn la production prévue au cours de
l’année 2005 + n.
1. Montrer que la suite (Pn ) est géométrique. Préciser sa raison. En déduire une expression de Pn en
fonction de n.
2. Calculer la production de l’année 2016, on arrondira la valeur obtenue à l’unité près.
3. Si la production descend en dessous de 13 000 unités, l’usine sera en faillite. Quand cela risque-t-il
d’arriver si la baisse de 2 % par an persiste ? La réponse sera recherchée à l’aide de la calculatrice.
Exercice 4:
Soit (un ) la suite définie par u0 = 100 et pour tout entier naturel n, un +1 = 0,8un + 3.
1.a. Calculer u1 et u2.
b. La suite est-elle arithmétique ? géométrique ? Justifier votre réponse.
2. Soit (vn ) la suite définie pour tout entier naturel n, par vn =un −15.
a. Calculer v 0 , v 1 et v 2. Démontrer que (vn ) est une suite géométrique et préciser sa raison.
b. En déduire une expression de vn en fonction de n
c. Justifier que pour tout entier naturel n, un 85 0,8 15.
= × n +
3. Étudier le sens de variation de la suite (un ).
4. On considère l’algorithme suivant.
Variables n entier, u réel
Initialisation u prend la valeur 100
n prend la valeur 0
Traitement tant que u > 15,001
n prend la valeur n+1
u prend la valeur 0.8u+3
fin tant que
Sortie Afficher n
Que permet de trouver cet algorithme ? Le programmer sur votre calculatrice et donner le résultat que
vous obtenez.
5. Exprimer en fonction de n les sommes suivantes.
S =v 0 +v 1+...+vn et S ' =u0 +u1+...+un .
Exercice 5
On suppose que chaque année, la production d’une usine subit une baisse de 2 %. Au cours de l’année
2005, la production a été de 20 000 unités. On note P0 = 20000 et Pn la production prévue au cours de
l’année 2005 + n.
1. Montrer que la suite (Pn ) est géométrique. Préciser sa raison. En déduire une expression de Pn en
fonction de n.
2. Calculer la production de l’année 2016, on arrondira la valeur obtenue à l’unité près.
3. Si la production descend en dessous de 13 000 unités, l’usine sera en faillite. Quand cela risque-t-il
d’arriver si la baisse de 2 % par an persiste ? La réponse sera recherchée à l’aide de la calculatrice.
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Exercice 4:
1. Soit (un) la suite définie par u0 =100 et pour tout nombre entier naturel n, un+1 = 0.8 un + 3
a) u1 = 0.8u0 +3 =83
u2=0.8 u1+3=69.4
b) u1-u0= –17
u2–u1= –13.6
u1-u0 ≠ u2–u1
Donc la suite (un) n’est pas arithmétique
u1/u0=83/100=0,83 u2/u1=69.3/83= 0,835
u1/u0≠u2/u1 Donc la suite (un) n’est pas géométrique
2) Soit (vn) la suite définie pour tout entier naturel n, par vn =un–15
a. v0= u0-15=85
v1= u1-15= 83 –15 = 68
v2= u2–15=54.4 .
(On remarque que v1/v0 = 68/85=0.8 et aussi v2/v1 =54.4/68 mais cela ne permet pas de
conclure ! Il faut travailler avec n quelconque .)
Démontrons que (vn) est une suite géométrique : pour tout entier naturel n,
v n+1=u n+1-15=0,8un +3-15=0,8(vn+15)-12=0,8vn
La suite ( vn) est donc géométrique de raison q= 0.8 et de premier terme v0= 85
b. In sait que vn=v0q ^n
donc ici vn=85×0.8n
c. Comme un =vn+15 On en déduit un = 85 ×0.8n +15.
3) Sens de variation de (un) :
On calcule pour tout n un+1-un et on étudie son signe
un+1-un= 85 ×0.8n+1+15–(85 ×0.8n +15)
= 85 ×0.8n ( 0.8 –1)
=85 × 0.8n ×-0.2
= –17 ×0.8n nombre négatif
donc la suite ( un) est décroissante
4. L’algorithme va afficher u0 puis les termes u1 , u2 , u3 , u4 et u5 donc
100 83 69.4 58.52 49.816. 42. 8528
5. La somme S’ est la somme des n+1 premiers termes d’une suite géométrique
de raison 0.8 et de premier terme 85.
S’ = v0 + …. + vn = v0 x 1-0,8 n+1/1-0,8=
85 x 1-0,8 n+1/0,2=425(1-0,8 n+1)
S= u0 + 15 + u1+15+ ...+un +15= S' +15(n+1)=425(1-0.8 n+1)+15(n+1)