et BI = 1/2 BA (vecteurs) on en déduit IA + IB= 1/2 AB + 1/2 BA = 0 IA + IB=(vecteurs) 2)supposons que IA + IB=0 alors IA + IA + AB = 0 2IA = -AB
donc AI = 1/2 AB tous vecteurs 3)si AI = 1/2AB alors IA + IB= 0 alors IM+MA+IM+MB= 0 et MA+MB= -2 IM = 2MI d'où MI= 1/2(MA+MB) tous vecteurs 4)si MI= 1/2(MA+MB) alors MA + AI = 1/2(MA + MA+AB) AI = 1/2AB
I milieu de [AB] 5)que I milieu de [AB] si et seulement si MI= 1/2(MA+MB) quel que soit M II 1°)soit I le milieu de [AB] GA+GB= 2GI donc GA+GB+GC= 2GI + GC or GI= 1/3 CI et GC= 2/3IC GA+GB+GC= 2/3 CI + 2/3IC =0 ( vecteurs ) 2°)soit A' milieu de [BC] GA+GB+GC= GA + 2 GA' =0 doncGA+2GA+2AA'=0 3GA = - 2AA' et AG = 2/3 AA' ( vecteurs ) 3°)si AG = 2/3 AA' MA+MB+MC=MA +2MA' =MA+2MA+2AA' MA+MB+MC= 3MA + 3AG = 3(MA+AG)=3MG et MG=1/3(MA+MB+MC ) 4°)si MG=1/3(MA+MB+MC ) alors 3MG=MA+MB+MC 3MG= 2MI + MC = 2MG+2GI + MG+GC donc 0 = 2GI + GC = 2GI+GI+IC MONTRE QUE 3GI= - IC =CI GI= 1/3 CI d'où G centre de gravité 5°)que G centre de gravité de ABC si et seulement si MG= 1/3(MA+MB+MC) quel que soit M
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1)I milieu de [AB] alors AI = 1/2 AB (vecteurs)et BI = 1/2 BA (vecteurs)
on en déduit IA + IB= 1/2 AB + 1/2 BA = 0 IA + IB=(vecteurs)
2)supposons que IA + IB=0 alors IA + IA + AB = 0
2IA = -AB
donc AI = 1/2 AB tous vecteurs
3)si AI = 1/2AB alors IA + IB= 0 alors IM+MA+IM+MB= 0
et MA+MB= -2 IM = 2MI d'où MI= 1/2(MA+MB) tous vecteurs
4)si MI= 1/2(MA+MB) alors MA + AI = 1/2(MA + MA+AB)
AI = 1/2AB
I milieu de [AB]
5)que I milieu de [AB] si et seulement si MI= 1/2(MA+MB) quel que soit M
II 1°)soit I le milieu de [AB] GA+GB= 2GI donc
GA+GB+GC= 2GI + GC or GI= 1/3 CI et GC= 2/3IC
GA+GB+GC= 2/3 CI + 2/3IC =0 ( vecteurs )
2°)soit A' milieu de [BC]
GA+GB+GC= GA + 2 GA' =0
doncGA+2GA+2AA'=0 3GA = - 2AA' et AG = 2/3 AA' ( vecteurs )
3°)si AG = 2/3 AA' MA+MB+MC=MA +2MA' =MA+2MA+2AA'
MA+MB+MC= 3MA + 3AG = 3(MA+AG)=3MG
et MG=1/3(MA+MB+MC )
4°)si MG=1/3(MA+MB+MC ) alors 3MG=MA+MB+MC
3MG= 2MI + MC = 2MG+2GI + MG+GC
donc 0 = 2GI + GC = 2GI+GI+IC MONTRE QUE
3GI= - IC =CI GI= 1/3 CI d'où G centre de gravité
5°)que G centre de gravité de ABC si et seulement si MG= 1/3(MA+MB+MC) quel que soit M