Bonjour
J'ai un Dm de maths mais je ne comprends rien du tout ; il y a deux exercices. Pouvez-vous m'aider SVP ??? Je suis en seconde. Merci bcp
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Si on a 0<a<V2
alors 0<V2 et
a<V2
donc 1/a > 1/V2
donc 2/a > 2/V2 ou encore 2/V2 < 2/a
donc V2 < 2/a
d'où
a < V2 < 2/a
b. Si a > V2
alors 1/a < 1/V2
donc 2/a < 2/V2 ou encore 2/V2 > 2/a
donc V2 > 2/a
d'où
a > V2 > 2/a
c. Pour 0<a<V2, on a : a < V2 < 2/a
Pour a > V2, on a : a > V2 > 2/a
donc pour tout nombre réel a strictement positif et distinct de V2, a et 2/a encadrent V2
2. Étudions le signe de d = (a+2/a)/2 - V2
d = [(a²+2)/a - 2V2]/2
d = [(a²+2) - 2aV2]/2a
or a > 0 donc 2a > 0 d'où d est du signe de a²-2V2*a+2 (* signifie multiplié par)
Cherchons les racines de l'équation du second degré : a²-2V2*a+2
delta = (-2V2)²-4*1*2 = 4*2-4*2 = 0
il existe une racine double a = 2V2/2*1 = V2
donc
a²-2V2*a+2 = (a-V2)²
d'où d = (a-V2)²/2a
2a > 0 et a distinct de V2 donc (a-V2)²>0 donc
d > 0
(a+2/a)/2 - V2 > 0
(a+2/a)/2 > V2
3. a. D'après la question 2. on sait que V2<(a+2/a)/22
et d'après la question 1.a. on sait que a < V2 < 2/a
donc a < 2/a
a+a < a + 2/a
2a < a + 2/a
a < (a + 2/a)/2
d'où
a < (a + 2/a)/2 < V2 < 2/a
donc
si 0 < a < V2 alors a < (a + 2/a)/2 < 2/a
b. D'après la question 2. On sait que (a+2/a)/2 > V2
et d'après la question 1.b. on sait que a > V2 > 2/a
donc a > 2/a
a+a > a + 2/a
2a > a + 2/a
a > (a + 2/a)/2
d'où
a > (a + 2/a)/2 > V2 > 2/a
donc
si a > V2 alors 2/a < (a + 2/a)/2 < a
II
Rang 1 :
a = 1, 2/a = 2, 1<ou= V2<ou=2, (a+2/a)/2 = 3/2, d = 1
rang 2 :
a = 3/2, 2/a = 2/(3/2) = 4/3, 4/3<ou= V2<ou=3/2, (a+2/a)/2 =(3/2+4/3)/2 = (17/6)/2 = 17/12, d = 3/2-4/3 = 1/6
rang 3
a= 17/12 = 1.416666
2/a = 2/(17/12) = 24/17 = 1.4117
24/17<ou= V2<ou=17/12
(a+2/a)/2 = (17/12+24/17)/2 = (289+288)/408 = 577/408 = 1.41421568
d = 17/12 - 24/17 = 1/204 = 0.0049
rang 4
a = 577/408 = 1.414215
2/a = 2/(577/408) = 816/577 = 1.414211
816/577<ou= V2<ou=577/408
(a+2/a)/2 = (577/408 + 816/577)/2 = (332929 + 332928)/470832 = 665857/470832 = 1.41421356237468
d = 577/408 - 816/577 = 1/235416 = 4.247*10^-6 (^ se lit puissance ou exposant)
rang 5 :
a = 665857/470832 = 1.41421356237468
2/a = 2(665857/470832) = 941664/665857 = 1.41421356237150
941664/665857<ou= V2<ou=665857/470832