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Bonjour,

1) pour tout point M(x;y) ∈ (d),

AM = √[(x - xA)² + (y - yA)²]

D'autre part, AMH est rectangle en H

⇒ AM² = AH² + HM²

⇒ AM² ≥ AH²     (= quand M = H)

⇒ AM ≥ AH        

⇒ AH est la plus petite distance de A à tous les points de (d)  

2) |n.AM|

= |n.(AH + HM)|

= |n.AH + n.HM|

= |n.AH| car n.HM = 0 (n et HM sont perpendiculaires)

= |||n|| x ||AM||

= ||n|| x AM   (distance AM = norme du vecteur AM)

3) n.AM

= a(x - xA) + b(y - yA)

= ax - axA + by - byA

= (ax + by) - (axA + byA)

= - c - (axA + byA)     car M ∈ (d) ⇒ ax + by + c = 0 ⇒ ax + by = -c

= -(axA + byB + c)

4) D'après la 2) :

AH = |n.AM|/||n||

= |-(axA + byB + c|/(√(a² + b²)

Je te laisse l'application...