Bonjour j'ai un exercice de maths que je ne comprend pas du tout.
ABCD est un rectangle de centre O; On se propose de démontrer que les droites (CI) et (DB) sont perpendiculaires. 1) calculez les valeurs exactes de IC et DB. 2)a) démontrez que M est le centre de gravité du triangles abc. b) déduisez des questions précédentes les valeurs exactes de MI et MB. 3) démontrez que les droites (IC) et (BD) sont perpendiculaires. Pourriez vous m'aider à comprendre si vous arrivez à répondre merci encore et bonne journée!!
ABCD est un rectangle de centre O; On se propose de démontrer que les droites (CI) et (DB) sont perpendiculaires. 1) calculez les valeurs exactes de IC et DB. 2)a) démontrez que M est le centre de gravité du triangles abc. b) déduisez des questions précédentes les valeurs exactes de MI et MB. 3) démontrez que les droites (IC) et (BD) sont perpendiculaires. Pourriez vous m'aider à comprendre si vous arrivez à répondre merci encore et bonne journée!!
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Bonjour,1)
Dans le triangle BIC rectangle en B : BI² + BC² = IC²
BI = AB/2 = 2√2/2 = √2
BC = 2
⇒ IC² = (√2)² + 2² = 2 + 4 = 6
⇒ IC = √6
De même, ABD est rectangle en A. Donc BD² = AB² + AD²
soit : BD² = (2√2)² + 2² = 8 + 4 = 12
⇒ BD = √12 = 2√3
2)
a) Dans le triangle ABC, [CI] et [BO] sont des médianes.
Or M est le point d'intersection de [CI] et de [BO].
Donc M est le centre de gravité du triangle ABC.
b) On sait que le centre de gravité d'un triangle se situe aux 2/3 de chaque médiane en partant de leur sommet.
Donc MC = 2/3 x CI ⇒ MI = 1/3 x CI
et MB = 2/3 x BO = 2/3 x BD/2
Soit : MI = 1/3 x √6 = √(6)/3
et MB = 2/3 x 2√(3)/2 = 2√(3)/3
3) MI² = (√6)/3)² = 6/9 = 2/3
MB² = 4x3/9 = 4/3
⇒ MI² + MB² = 2/3 + 4/3 = 6/3 = 2
Or IB² = (√2)² = 2
donc MI² + MB² = IB²
On en déduit, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, que IBM est rectangle en M.
Donc les droites (IM) et (BM) sont perpendiculaires.
Le point C appartient à (IM), donc (IC) = (IM)
Le point D appartient à (BM), donc (BD) = (BM)
On en déduit donc que (IC) et (BD) sont perpendiculaires.