Réponse :

Explications étape par étape :

2 incohérences dans cet énoncé :

la dérivée f'(x) n'est pas l'expression correcte et f est dérivable sur [0 ; 10].

f(x)=(-5x+3)e⁻ˣ⁺²

1) f=u*v et f'=u'v + v'u avec

• u(x) = -5x + 3 → u'(x) = -5
• v(x) = e⁻ˣ⁺² → v'(x) = -e⁻ˣ⁺²

f'(x) = -5e⁻ˣ⁺² -e⁻ˣ⁺²(-5x + 3) = e⁻ˣ⁺²(-5+5x-3) = (5x - 8)e⁻ˣ⁺²

2) e⁻ˣ⁺² > 0, le signe de f'(x) dépend du signe de 5x - 8

5x - 8 ≥ 0 → x ≥ 8/5

Tableau de signe de f(x)

x                    0                       8/5                       10

f'(x)                             -            0              +

4)

Pour x ∈ [0; 8/5], f'(x) ≤ 0 et f est décroissante sur cet intervalle

Pour x ∈ [8/5 ; 10], f'(x) ≥ 0 et f est croissante sur cet intervalle

Pour x = 8/5, f(x) = 0 et f atteint son minimum pour x = 8/5 = 1,6

5

Minimum de f = f(1,6) = (-5*1,6 + 3)exp(0,4) = -5exp(0,4) ≈ -7,46

6) Ce minimum est atteint pour x = 8/5 = 1,6