Réponse :

108)  f(x) = - 2 x² - 7 x + 15

1) dresser le tableau de variation de la fonction f

   f(x) = - 2 x² - 7 x + 15

         = - 2(x² + (7/2) x - 15/2)

         = - 2(x² + 7 x/2 + 49/16 - 49/16 - 15/2)

         = - 2(x² + 7 x/2 + 49/16  - 169/16)

         = - 2(x + 7/4)² + 169/8

   x    - ∞                              - 7/4                                + ∞

 f(x)   - ∞ →→→→→→→→→→→→→→ 169/8 →→→→→→→→→→→  - ∞

                 croissante                          décroissante

2) résoudre  f(x) = 0  

    f(x) = 0  ⇔ - 2((x+7/4)² - 169/16) = 0  ⇔ (x + 7/4)² - (13/4)² = 0

⇔ (x + 7/4 + 13/4)(x+7/4 - 13/4) = 0  ⇔ (x + 20/4)(x - 6/4) = 0

⇔ (x + 5)(x - 3/2) = 0  ⇔  x + 5 = 0  ⇔ x = - 5  ou x = 3/23)

3) donner la forme factorisée et la forme canonique de f

 f(x) = - 2(x + 5)(x - 3/2)  ⇔ f(x) = (3 - 2x)(x + 5)   forme factorisée

 f(x) = - 2(x + 7/4)² + 169/8   forme canonique

4) dresser le tableau de signe de f(x)

        x         - ∞                  - 5                  3/2                + ∞

    3 - 2 x                  +                     +         0           -

    x + 5                     -           0        +                       +  

     f(x)                       -            0        +          0           -

5) résoudre  f(x) < 0    

l'ensemble des solutions de f(x) < 0  est   S = ]- ∞ ; - 5[U]3/2 ; + ∞[

6) déterminer l'image de 2 par la fonction f

          f(2) = (2+5)(3 - 4) = 7*(-1) = - 7

7) - 70 a-t-il des antécédents par f ? si oui les déterminer

f(x) = - 2 x² - 7 x + 15 = - 70   ⇔ - 2 x² - 7 x + 85 = 0

        Δ  = 49 + 680 = 729   puisque  Δ est positif  donc la réponse est oui

      √729 = 27

x1 = 7+27)/-4 = 34/-4 = - 17/2

x2 = 7- 27)/- 4 = 5

8) 25 a-t- il des antécédents par f ?  si oui les déterminer

        f(x) = -2 x² - 7 x + 15 = 25  ⇔ - 2 x² - 7 x - 10 = 0

       Δ = 49 - 80 = - 31  < 0    la réponse est non

Explications étape par étape