Bonjour, j'aurais besoin d'aide pour résoudre ce devoir maison qui est à rendre pour le lundi 21. Me.... Pergunta de ideia deSoufianBOUAZAMA

May 2019 1 56 Report

Bonjour, j'aurais besoin d'aide pour résoudre ce devoir maison qui est à rendre pour le lundi 21.

Merci d'avance à vous tous.

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Bonjour SoufianBOUAZAMA

Partie A

1) Tableau de signes

$\begin{array}{|c|ccccc|} x&-\infty&&-2&&+\infty \\ f(x)&&-&0&+&\\ \end{array}$

2) a) F est une primitive de f ==> F'(x) = f(x).

D'où :

$F'(0) = f(0)\ et\ f(0) = 2\ \Longrightarrow\boxed{F'(0)=2}\\\\F'(-2) = f(-2)\ et\ f(-2) = 0\ \Longrightarrow\boxed{F'(-2)=0}$

b) La courbe C2 doit être éliminée car la fonction associée à cette courbe est strictement décroissante en x=-2.
Donc nous devrions avoir F'(-2) < 0 .
Or F'(-2) = 0 (==> la tangente devrait être horizontale)
Donc, la courbe C2 est à éliminer.

La courbe C3 doit être éliminée car le coefficient directeur de la tangente à cette courbe au point d'abscisse 0 devrait être égal à 2 (car F'(0)=2).
La tangente à cette courbe passe par les points A(0;-1,5) et B(1;0)
Le coefficient directeur de la tangente à cette courbe est égal à $\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\dfrac{0-(-1,5)}{1-0}=1,5\neq2$
Donc, la courbe C3 est à éliminer.

Par conséquent, la fonction F est représentée par la courbe C1

Partie B

$f(x)=(x+2)e^{\frac{1}{2}x}$

$1)a)\ f'(x)=[(x+2)e^{\frac{1}{2}x}]'\\\\f'(x)=(x+2)'\times e^{\frac{1}{2}x}+(x+2)\times(e^{\frac{1}{2}x})'\\\\f'(x)=1\times e^{\frac{1}{2}x}+(x+2)\times\dfrac{1}{2}e^{\frac{1}{2}x}\\\\f'(x)=e^{\frac{1}{2}x}+\dfrac{1}{2}(x+2)\times e^{\frac{1}{2}x}\\\\f'(x)=\dfrac{1}{2}\times2e^{\frac{1}{2}x}+\dfrac{1}{2}(x+2)\times e^{\frac{1}{2}x}\\\\f'(x)=\dfrac{1}{2}e^{\frac{1}{2}x}\times[2+(x+2)]\\\\f'(x)=\dfrac{1}{2}e^{\frac{1}{2}x}\times(x+4)\\\\\boxed{f'(x)=\dfrac{1}{2}(x+4)e^{\frac{1}{2}x}}$

b) Signe de la dérivée et variations de f

$\begin{array}{|c|ccccc|} x&-\infty&&-4&&+\infty \\ \frac{1}{2}&&+&+&+&\\x+4&&-&0&+&\\e^{\frac{1}{2}x}&&+&+&+&\\f'(x)&&-&0&+&\\f(x)&&\searrow&-2e^{-2}&\nearrow&\\ \end{array}$

La fonction f admet donc un minimum en x = −4.

$2)\ I=\int\limits_0^1f(x)d(x)$

a) La fonction f est positive et continue sur l'intervalle [0;1].

D'où I représente l’aire de la surface comprise entre la courbe représentative de f, l’axe des abscisses et les droites d’équations x = 0 et x = 1.

$b)\ u(x)=x\Longrightarrow u'(x)=1\\\\v(x)=e^{\frac{1}{2}x}\Longrightarrow v'(x)=\dfrac{1}{2}e^{\frac{1}{2}x}$

Donc

$2[u'(x)v(x)+u(x)v'(x)] = 2[1\times e^{\frac{1}{2}x}+x\times\dfrac{1}{2}e^{\frac{1}{2}x}]\\\\2[u'(x)v(x)+u(x)v'(x)] = 2[e^{\frac{1}{2}x}+\dfrac{1}{2}xe^{\frac{1}{2}x}]\\\\2[u'(x)v(x)+u(x)v'(x)] = 2e^{\frac{1}{2}x}+xe^{\frac{1}{2}x}\\\\2[u'(x)v(x)+u(x)v'(x)]= (2+ x)e^{\frac{1}{2}x}\\\\\boxed{2[u'(x)v(x)+u(x)v'(x)]=f(x)}$

c) Par le b), nous déduisons que : $2[u(x)v(x)]'=f(x)$ et par suite, que : $[2u(x)v(x)]'=f(x)$

D'où 2uv est une primitive de f.

Par conséquent,

$I=\int\limits_0^1f(x)d(x)\\\\I=[2u(x)v(x)]\limits_0^1\\\\I=[2xe^{\frac{1}{2}x}]\limits_0^1\\\\I=(2\times1\times e^{\frac{1}{2}\times1})-(2\times0\times e^{\frac{1}{2}\times0})\\\\I=2e^{\frac{1}{2}}-0\\\\\boxed{I=2e^{\frac{1}{2}}\ (u^2)=2\sqrt{e}\ (u^2)}$

3) a) En appliquant pas à pas l'algorithme, nous obtenons en sortie :

$s=\dfrac{1}{3}f(\dfrac{0}{3})+\dfrac{1}{3}f(\dfrac{1}{3})+\dfrac{1}{3}f(\dfrac{2}{3})$

Cela représente une somme de trois aires de rectangles dont les bases sont 1/3 et les hauteurs successives f(0/3, f(1/3) et f(2/3).

Cela représente bien l'aire des trois rectangles hachurés.

b) En général, pour une somme de n rectangles, nous aurions :

$s_n=\sum\limits_{i=0}^{n+1}\ [\dfrac{1}{n}f(\dfrac{i}{n})]$

Cela représenterait la somme des aires de n rectangles situés entre la courbe, l'axe des abscisses entre x = 0 et x = 1 et dont les largeurs valent 1/n.

Lorsque n devient grand, cette valeur sn se rapproche de $I=\int\limits_0^1f(x)d(x)$

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