Réponse :

Bonjour

Explications étape par étape

1)

a)

En vecteurs :

ST=SD+DE+ET

ST=-1/2DF+DE+1/3EF

ST=-1/2DF+DE+1/3(ED+DF)

ST=-1/2DF+DE+1/3ED+1/3DF

ST=-3/6DF+3/3DE-1/3DE+2/6DF

ST=(2/3)DE-(1/6)DF

FR=FD+DR

FR=-DF+4DE

FR=4DE-DF

b)

(1/6)FR=4(1/6)DE-(1/6)DF

(1/6)FR=(2/3)DE-(1/6)DF

Donc :

ST=(1/6)FR

qui prouve que les droites (ST)  et (FR) sont //.

2)

b)

On cherche les coordonnées des vecteurs DE et DF de cette mamnière :

DE(xE-xD;yE-yD)

DE(1;-3)

DR=4DE donc :

DR(4;-12)--->(1)

Soit R(x;y)

DR(x+2;y-4)--->(2)

(1) et (2) donnent:

x+2=4 et y-4=-12

x=2 et y=-8

R(2;-8)

DS=1/2DF donc :

S est le milieu de [DF] .

Donc :

S((-2+5)/2;(4+4)/2)

S(3/2;4)

EF(6;3)

ET=1/3EF

ET(2;1)-->(3)

Soit T(x;y)

ET(x+1;y-1)--->(4)

(3) et ( 4) donnent :

x+1=2 et y-1=1

x=1 et y=2

T(1;5)

c)

On a :

D(-2;4) et R(2;-8)

Coordonnées du milieu de [DR]((-2+2)/2;(4-8)/2)) soit (0;-2) qui sont bien les coordonnées de K.

d)

On va montrer que les vecteurs St et TK sont colinéaires .

ST(1-3/2;2-4)

ST(-1/2;-2)--->(5)

TK(0-1;-2-2)

TK(-1;-4)

(1/2)TK(-1/2;-2)--->(6)

ST=(1/2)TK

qui prouve que les points S , T et K sont alignés.