Réponse :

Bonjour

Explications étape par étape :

a)

Soit "x" l'abscisse de M.

Si x < 0 :

Alors  la mesure AH=6+x

Exemple si x=-2 alors mesure AH=6-2=4 , ce qui est conforme au graphique.

Si x > 0 :

Alors  la mesure AH=6+x

Donc on a toujours : mesure AH=6+x

L'ordonnée de M qui est un point de P est donc :

MH=-(2/9)x²+8

Aire AMH=AH*MH/2=f(x)

f(x)=[(6+x)(-(2/9)x²+8)]/2

Tu développes dans les [....] et tu trouves :

f(x)=[-(12/9)x²+48-(2/9)x³+8x] / 2

f(x)=-(1/9)x³-(2/3)x²+4x+24

b)

f '(x)=-(1/3)x²-(4/3)x+4

c)

f '(x) est positif entre ses racines car le coeff de x² est < 0.

On résout :

-(1/3)x²-(4/3)x+4=0 soit en multipliant chaque terme par -3  :

x²+4x-12=0

Δ=4²-4(1)(12)=64

√64=8

x1=(-4-8)/2=-6 et x2=(-4+8)/2=2

Variation :

x--------->-6.................2................6

f '(x)----->0........+.........0........-..........

f(x)------->.........C........?...........D.......

C=flèche qui monte et D=flèche qui descend.

f(-6)=0 ; f(2) ≈ 28.444 ( Valeur exacte ci-dessous)  et f(6)=0

d)

Aire AMH max pour x=2 et f(2)=256/9 ( Je te laisse donner le détail des calculs).