Réponse :

EX94

Déterminer le sens de variation en calculons la différence Un+1 - Un

1) Un = 2 n² - n + 1

Un+1 = 2(n+1)² - (n+1) + 1

        = 2(n²+ 2 n + 1) - n - 1 + 1

        = 2 n² + 4 n + 2 - n

        = 2 n² + 3 n + 2

Un+1 - Un = 2 n² + 3 n + 2 - (2 n² - n + 1)

                = 2 n² + 3 n + 2 - 2 n² + n - 1

                =  4 n + 1

pour tout entier naturel n ; n ≥ 0   ⇒ 4 n + 1 > 0

donc Un+1 - Un > 0 ⇒ la suite (Un) est strictement croissante sur N

2) Un = (n - 1/2)²

Un+1 = ((n+1) - 1/2)²

        = (n + 1/2)²

Un+1 - Un = (n+ 1/2)² - (n - 1/2)²

                = (n + 1/2 - (n - 1/2))(n + 1/2 + n - 1/2)

                = (n + 1/2 - n + 1/2)(2 n)

                = 2 n

pour tout entier naturel n ≥ 0 ⇒ 2 n ≥ 0

donc Un+1 - Un = 2 n ≥ 0 ⇒ (Un) est strictement croissante sur N

3)  U0 = 1

    Un+1 = Un + 2 n + 3

Un+1 - Un = 2 n + 3

Raisonnement par récurrence

initialisation  pour n ≥ 0  P(0) est vraie  P(0) = 2 (0) + 3 = 3 > 0  

Hérédité :  soit un entier n ≥ 0, supposons P(n) vraie et montrons que P(n+1) est vraie

P(n+1) = 2(n+1) + 3 = 2 n + 2 + 3 = 2 n + 5 > 0

Conclusion : comme P(0) est vraie et P(n) est héréditaire pour tout entier n ≥ 0 donc par récurrence P(n) est vraie pour tout n ≥ 0

Donc pour tout n ∈ N  Un+1 - Un > 0 ⇒ (Un) est donc croissante    

Explications étape par étape