1) Soit la fonction f définie sur R par f(x)=-x²+2x+3. Il s'agit d'un polynôme du second degrés qui est dérivable sur R. On note f' sa dérivée qui es donnée par: f'(x)=(-x²+2x+3)' f'(x)=-2x+2 f'(x)=2(1-x) f'(x)=0 si 1-x=0 donc si x=1 f'(x)≥0 si 1-x≥0 donc si x≤1 donc f est croissante sur ]-∞;1] f'(x)≤0 si 1-x≤0 donc si x≥1 donc f est décroissante sur [1;+∞[
2) Soit la fonction g définis sur R par: g(x)=x²-3x+4 Nous allons résoudre l'équation demandée: g(x)=0 x²-3x+4=0 Δ=b²-4ac=(-3)²-4(1)(4)=9-16=-7 Comme Δ<0 donc g n'a pas de solution dans R (il en existe dans C mais ce n'est pas au programme de 1ere S)
3)a) Soit la fonction h(x) définie sur R par: h(x)=f(x)-g(x) h(x)=-x²+2x+3-(x²-3x+4) h(x)=-x²+2x+3-x²+3x-4 h(x)=-2x²+5x-1 Nous allons résoudre cette équation: h(x)=0 -2x²+5x-1=0 Δ=b²-4ac=(5)²-4(-2)(-1)=25-8=17 x(1)=(-5-√17)/(-4)=(5+√17)/4 x(2)=(-5+√17)/(-4)=(5-√17)/4 Comme selon le théorème du signe d'un polynôme du second degrés et si Δ>0 alors h(x) est du signe de a soit -2 donc négatif sur ]-∞;(5-√17)/4[U](5+√17/4;+∞] et du signe de -a soit 2 donc positif sur ](5-√17)/4;(5+√17)/4[.
b) On déduis de a) que Cg est au-dessus de Cf sur ]-∞;(5-√17)/4[U](5+√17/4;+∞[ et Cg est en dessous de Cf sur ](5-√17)/4;(5+√17)/4[. D'ailleurs, les courbes se croisent en 2 points d'abscisse x(1) et x(2)
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1) Soit la fonction f définie sur R par f(x)=-x²+2x+3. Il s'agit d'un polynôme du second degrés qui est dérivable sur R. On note f' sa dérivée qui es donnée par:
f'(x)=(-x²+2x+3)'
f'(x)=-2x+2
f'(x)=2(1-x)
f'(x)=0 si 1-x=0 donc si x=1
f'(x)≥0 si 1-x≥0 donc si x≤1 donc f est croissante sur ]-∞;1]
f'(x)≤0 si 1-x≤0 donc si x≥1 donc f est décroissante sur [1;+∞[
2) Soit la fonction g définis sur R par:
g(x)=x²-3x+4
Nous allons résoudre l'équation demandée:
g(x)=0
x²-3x+4=0
Δ=b²-4ac=(-3)²-4(1)(4)=9-16=-7
Comme Δ<0 donc g n'a pas de solution dans R (il en existe dans C mais ce n'est pas au programme de 1ere S)
3)a) Soit la fonction h(x) définie sur R par:
h(x)=f(x)-g(x)
h(x)=-x²+2x+3-(x²-3x+4)
h(x)=-x²+2x+3-x²+3x-4
h(x)=-2x²+5x-1
Nous allons résoudre cette équation:
h(x)=0
-2x²+5x-1=0
Δ=b²-4ac=(5)²-4(-2)(-1)=25-8=17
x(1)=(-5-√17)/(-4)=(5+√17)/4
x(2)=(-5+√17)/(-4)=(5-√17)/4
Comme selon le théorème du signe d'un polynôme du second degrés et si Δ>0 alors h(x) est du signe de a soit -2 donc négatif sur ]-∞;(5-√17)/4[U](5+√17/4;+∞] et du signe de -a soit 2 donc positif sur ](5-√17)/4;(5+√17)/4[.
b) On déduis de a) que Cg est au-dessus de Cf sur ]-∞;(5-√17)/4[U](5+√17/4;+∞[ et Cg est en dessous de Cf sur ](5-√17)/4;(5+√17)/4[. D'ailleurs, les courbes se croisent en 2 points d'abscisse x(1) et x(2)