Ex 1: 1) On appelle V(T) le volume totale de la cuve, V(x) est le volume de béton et V(cuve) est le volume de l'intérieur. On peut alors écrire: V(T)=V(x)+V(cuve) V(x)=V(T)-V(cuve) On sait que le volume d'un parallélépipède à base carrée est donné par: V(parallélépipède)=S(base)×Hauteur On peut alors écrire que: V(cuve)=4=x²h V(T)=(x+0.6)²(h+0.3) V(x)=(x+0.6)²(h+0.3)-4 comme 4=x²h⇒h=4/x², on peut alors écrire: V(x)=(x+0.6)²(4/x²+0.3)-4 ---->CQFD
2) V'(x)=[(x+0.6)²(4/x²+0.3)-4]' On a une fonction du type uv donc sa dérivée est de type u'v+uv': u(x)=(x+0.6)²⇒u'(x)=2(x+0.6) v(x)=(4/x²+0.3)⇒v'(x)=-8/x^3 (type u/v=(u'v-uv')/v²) V'(x)=(x+0.6)²(-8/x³)+2(x+0.6)(4/x²+0.3) V'(x)=(x+0.6)((x+0.6)(-8/x³)+2(4/x²+0.3)) V'(x)=(x+0.6)(-8/x²-0.6×8/x³+8/x²+0.6) V'(x)=(x+0.6)(0.6-0.6×8/x³) V'(x)=0.6(1-8/x³)(x+0.6) ---->CQFD
3) Comme nous étudions un objet matériel, il est alors évident que nous allons étudier les variations de V sur [0;+∞[. Nous allons alors étudier le signe de la dérivée V'(x): V'(x)=0 0.6(x+0.6)(1-8/x³)=0 (x+0.6)(1-8/x³)=0 Un produit de facteur est nul ssi l'un des facteurs est nul: x+0.6≥0 ⇒x≥*0.6∉[0;+∞[ dc ∀x∈[0;+∞[ x+0.6≥0 1-8/x³≥0⇒8/x³≤1⇒x³/8≥1⇒x³≥8⇒x≥2 On en déduis alors que: V'(x)≥0 si x≥2 donc V sera croissante sur [2;+∞[ V'(x)≤0 si x≤2 donc V sera décroissante sur [0.2]
4) Pour connaître ces valeurs, il nous faut trouver x pour lequel V'(x)=0. Par la question précédente, on sait que le signe de V' dépend de (1-8/x³), il en va de même pour cette valeur. V'(x)=0 0.6(x+0.6)(1-8/x³)=0 (1-8/x³)=0 1=8/x³ x³=8 x=2 m Comme on a: h=4/x² h=4/2² h=1 m Pour avoir cette valeur, nous allons calculer V(2): V(2)=(2+0.6)²(4/2²+0.3)-4 V(2)=2.6²×1.3-4 V(2)=4.788 m³
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Bonjour,Ex 1:
1) On appelle V(T) le volume totale de la cuve, V(x) est le volume de béton et V(cuve) est le volume de l'intérieur. On peut alors écrire:
V(T)=V(x)+V(cuve)
V(x)=V(T)-V(cuve)
On sait que le volume d'un parallélépipède à base carrée est donné par:
V(parallélépipède)=S(base)×Hauteur
On peut alors écrire que:
V(cuve)=4=x²h
V(T)=(x+0.6)²(h+0.3)
V(x)=(x+0.6)²(h+0.3)-4
comme 4=x²h⇒h=4/x², on peut alors écrire:
V(x)=(x+0.6)²(4/x²+0.3)-4 ---->CQFD
2) V'(x)=[(x+0.6)²(4/x²+0.3)-4]'
On a une fonction du type uv donc sa dérivée est de type u'v+uv':
u(x)=(x+0.6)²⇒u'(x)=2(x+0.6)
v(x)=(4/x²+0.3)⇒v'(x)=-8/x^3 (type u/v=(u'v-uv')/v²)
V'(x)=(x+0.6)²(-8/x³)+2(x+0.6)(4/x²+0.3)
V'(x)=(x+0.6)((x+0.6)(-8/x³)+2(4/x²+0.3))
V'(x)=(x+0.6)(-8/x²-0.6×8/x³+8/x²+0.6)
V'(x)=(x+0.6)(0.6-0.6×8/x³)
V'(x)=0.6(1-8/x³)(x+0.6) ---->CQFD
3) Comme nous étudions un objet matériel, il est alors évident que nous allons étudier les variations de V sur [0;+∞[.
Nous allons alors étudier le signe de la dérivée V'(x):
V'(x)=0
0.6(x+0.6)(1-8/x³)=0
(x+0.6)(1-8/x³)=0
Un produit de facteur est nul ssi l'un des facteurs est nul:
x+0.6≥0 ⇒x≥*0.6∉[0;+∞[ dc ∀x∈[0;+∞[ x+0.6≥0
1-8/x³≥0⇒8/x³≤1⇒x³/8≥1⇒x³≥8⇒x≥2
On en déduis alors que:
V'(x)≥0 si x≥2 donc V sera croissante sur [2;+∞[
V'(x)≤0 si x≤2 donc V sera décroissante sur [0.2]
4) Pour connaître ces valeurs, il nous faut trouver x pour lequel V'(x)=0. Par la question précédente, on sait que le signe de V' dépend de (1-8/x³), il en va de même pour cette valeur.
V'(x)=0
0.6(x+0.6)(1-8/x³)=0
(1-8/x³)=0
1=8/x³
x³=8
x=2 m
Comme on a:
h=4/x²
h=4/2²
h=1 m
Pour avoir cette valeur, nous allons calculer V(2):
V(2)=(2+0.6)²(4/2²+0.3)-4
V(2)=2.6²×1.3-4
V(2)=4.788 m³