Réponse :

Bonjour

Explications étape par étape :

a)

Vect BC(1-(-4);-7-5)

BC(5;-12)

Soit M(x;y)  un point de (D).

vect AM(x-3;y+2)

Les vect AM et BC  sont orthogonaux donc :

5(x-3)-12(y+2)=0

5x-15-12y-24=0

(D) ==> 5x-12y-39=0

b)

On cherche l'équation de (D') la hauteur issue de B(-4;5) .

vect AC(1-3;-7+2)

AC(-2;-5)

Soit M(x;y)  un point de (D ').

vect BM(x+4;y-5)

Les vect BM et AC  sont orthogonaux donc :

-2(x+4)-5(y-5)=0

-2x-8-5y+25=0

(D ') ==>2x+5y-17=0

On résout le système  :

{5x-12y-39=0

{2x+5y-17=0

Soit :

{-10x+24y+78=0

{10x+25y-85=0

On ajoute membre à membre :

49y-7=0

y=1/7

On reporte dans : 2x+5(1/7)-17=0

2x=17-5/7

x=(17*7-5)/(7*2)

x=114/14

x=57/7

H(57/7;1/7)

c)

a.

Si un triangle  AMB est inscrit dans un cercle ayant pour  diamètre le côté [AB]  , alors ce triangle est rectangl en M.

Les vect AM et MB sont donc orthogonaux qui implique :

AM.MB=0

b.

Soit M(x;y).

AM(x-3;y+2)

MB(-4-x;5-y)

Comme AM et MB orthogonaux , alors :

(x-3)(-4-x)+(y+2)(5-y)=0

Tu développes et à la fin :

x²+y²+x-3y-22=0

c.

On reporte xN=4 et yN=1 dans l'équation du cercle :

4²+1²+4-3*1-22=16+1+4-3-22=-3 ≠  0

N n'est pas un point de ce cercle.

Pour le centre du cercle circonscrit , il nous faut l'équation de 2 médiatrices .

I milieu de AB :

I(-1/2;3/2)

Soit (L ) cette médiatrice et M(x;y) un point de (L).

MI(-1/2-x;3/2-y)

AB(-7;7)

MI et AB sont orthogonaux :

-7(-1/2-x)+7(3/2-y)=0

7/2+7x+21/2-7y=0

7x-7y+14=0

( L ) ==> x-y+2=0

Soit J milieu de [BC] :

J(-3/2;-1)

Soit ( T )  la médiatrice de [BC]  et M(x;y) sur ( T ) :

JM(x+3/2);y+1)

BC(5;-12) sont orthogonaux :

5(x+3/2)-12(y+1)=0

(T )  ==>5x-12y-9/2=0

Maintenant il faut résoudre le système :

{x-y+2=0 ==>y=x+2

{5x-12y-9/2=0

5x-12(x+2)-9/2=0

-7x-57/2=0

x=-57/14

y=-57/14+28/14=-29/14

Centre du cercle que j'appelle P (-57/14;-29/14)