bjr

1)

puisque M est le milieu de [OA] alors OM = 1/2 OA  

puisque N est le milieu de [OC] alors ON = 1/2 OC

par hypothèse ABCD est un parallélogramme

les diagonales de coupent en leur milieu

d'où OA = OC

leurs moitiés sont égales

OM = ON  (1)

2)

[BD)] est la seconde diagonale de ABCD

OB = OD (2)

on a

OM = ON  (1)  et OB = OD (2)

les diagonales MN et BD du quadrilatère MBND ont le même milieu O

c'est un parallélogramme

on a utilisé deux propriétés

1)

dans un parallélogramme les diagonales se coupent en leur milieu

2) propriété réciproque de la précédente

Si un quadrilatère a ses diagonales qui se coupent en leur milieu, alors ce quadrilatère est un parallélogramme