Bonjour je suis en seconde et je n'arrive pas à comprendre cet exercice de maths. J'ai beau m'y reprendre plusieurs fois, je n'arrive toujours pas à le comprendre. Pourriez vous si il vous plaît m'éclairer sur cet exo de maths :
Les dimensions du potager rectangulaire(x longueur; y largeur) de Jean et Edgar doivent être optimisées pour avoir la plus grande aire
pour un périmètre de 20 m.
a. Modéliser le problème de Jean et Edgar à l'aide d'une
fonction dont on précisera l'ensemble de définition.
b. Représenter cette fonction à l'aide d'une calculatrice
et conjecturer la réponse au problème : quelle est l'aire
maximale ?
C. Justifier que : quel que soit x eR, 25-10x + x2 > 0.
d. Démontrer la conjecture du maximum.
e. Conclure : Edgar avait-il raison de douter que le carré
soit la meilleure solution à leur projet ?
Les dimensions du potager rectangulaire(x longueur; y largeur) de Jean et Edgar doivent être optimisées pour avoir la plus grande aire
pour un périmètre de 20 m.
a. Modéliser le problème de Jean et Edgar à l'aide d'une
fonction dont on précisera l'ensemble de définition.
b. Représenter cette fonction à l'aide d'une calculatrice
et conjecturer la réponse au problème : quelle est l'aire
maximale ?
C. Justifier que : quel que soit x eR, 25-10x + x2 > 0.
d. Démontrer la conjecture du maximum.
e. Conclure : Edgar avait-il raison de douter que le carré
soit la meilleure solution à leur projet ?
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Réponse :
Bonjour
Explications étape par étape
aire du rectangle est x * y
le perimetre est 2x + 2y
Nous savons donc que 2x + 2y = 20
et nous voulons etudier la fonction qui donne l aire du rectangle A
A = x * y
Nous avons deux inconnues ce qui est un peu difficile a manipuler
pourrait on se ramener a une seule inconnue?
le perimetre doit etre egal a 20 ca nous donne une relation entre x et y soit
2x + 2y = 20 d ou x + y = 10
y = 10 - x
remplacons dans A cela donne
A = (10 - x) * x
A n est plus que fonction de x notons A(x)
A(x) = x (10 -x)
cherchons x tel que A(x) soit maximale
J ai joins une representation graphique de cette fonction
faite dans geogebra
de ce graphique je peux conjecturer que
le maximum est 25 est il est atteint en x = 5
25 - 10 x + x^2 = (5-x)^2 [ identite remarquable - voir le cours ]
donc 25 - 10x + x^2 est toujours positif
et c est egale a 0 uniquement pour x = 5
A(x) = x (10 - x) = 10x -x^2
l equation de la question precedente est en fait 25 - A(x)
et nous avons vu que c est toujours positif et egale a 0 en x = 5
donc l aire est maximum en x = 5 et vaut A(5) = 25
Oui Edgar avait raison
car A(5) = 5 * 5 = 25
la longueur est egale a la largeur c est donc un carre