Réponse :

Explications étape par étape

1)

Mesure de EI=1-x

Mesure de EM=x²

Donc aire EMFI=produit de ces 2 côtés qui sont exprimés en fonction de x.

2)

A(x)=(1-x)x²

A(x)=x²-x³

3)

A(x) est définie sur [0;1]

Voir graph joint.

A(x) croît sur [0;0.67] environ puis décroît ensuite sur [0.67;1]

En 2nde , je ne vois pas comment tu peux avoir une idée de la valeur exacte de "x" pour laquelle A(x) est max.

Sauf à dire :

hum...hum...0.67 est vraiment tout proche de 2/3.

Donc :

On conjecture que A(x) est max pour x=2/3.

5)

A(2/3)=(2/3)²-(2/3)³=4/9-8/27=12/27-8/27=4/27

La valeur exacte de l'aire max est 4/27 .

6)

a)

On écrit la fct A(x)=x²-x³

On calcule la valeur de A(2/3) qui vaut donc 4/27.

On calcule :

A(2/3)-A(x) et non : A(2/3)-A(x).x comme il est écrit.

A(2/3)-A(x)=4/27-(x²-x³)=x³-x²+4/27

Et si tu t'amuses à développer comme j'ai fait :

(1/27)(3x-2)²(3x+1)

Tu retrouves bien : x³-x²+4/27

Donc la factorisation permet de dire :  les 3 facteurs sont positifs sur [0;1] ou nul pour 3x-2=0 donc pour x=2/3.

Donc :

A(2/3)-A(x) ≥ 0 et vaut zéro pour x=2/3.

Donc :

A(x) ≤ A(2/3)

Donc A(x) passe par un max pour x=2/3 et vaut alors 4/27.

4)

Max pour x ≈ 0.67 qui donne A(x) ≈0.14814