scoladan

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Bonjour,

on va s'inspirer du titre : suite arithmétique cachée

U₁ = 1  U₂ = 5/2  U₃ = 9/3  U₄ = 13/4    U₅ = 17/5 ...

Les numérateurs successifs sont 1, 1+4=5, 5+4=9, 9+4=13, etc...
Les dénominateurs successifs sont 1, 2, 3, etc...

Soit (Vn) suite arithmétique de raison r = 4 et de premier terme V₀ = 1,

soit Vn = 1 + 4n pour tout n ∈N et donc Vn-1 = 4n - 3 pour tout n ≥ 1

Alors il semble que : Un = Vn-1/n

Par récurrence : On vérifie bien que U₁ = V₁₋₁/1 = V₀/1 = 1/1 = 1

Hypothèse : Un = Vn-1/n

Un+1 = (nUn + 4)/(n + 1)       par définition de (Un)

= (n x Vn-1/n + 4)/(n + 1)       par hypothèse de récurrence

= (4n - 3 + 4)/(n + 1)

= (4n + 1)/(n + 1)

= Vn/(n + 1)

Hérédité démontrée.

Donc Un = Vn-1/n = (4n - 3)/n pour tout n ≥ 1

⇒ lim Un quand n→+∞ = lim (4n/n) = 4

⇒ (Un) convergente et lim Un = 4