Réponse :

Bonjour

Explications étape par étape

Exo 1 :

1) f(-4)=1; f(-2)=3 ; f(0)=1.

OK ?

2)

f(x)=a(x-α)²+β

On sait que le sommet S de la parabole a pour coordonnées (α;β).

Graphiquement S(-2;3) donc :

f(x)=a(x-(-2))²3 soit f(x)=a(x+2)²+3

Comme f(0)=1 on peut écrire :

1=a*2²+3 qui donne : a=-2/4=-1/2

3)

Donc f(x)=-(1/2)(x+2)²+3

4)

Tu sais développer , je suppose. Tu vas trouver :

f(x)=-(1/2)x²-2x+1

5)

Soient 3 ≤ a < b

3-3 ≤ a-3 < b-3

0 ≤ a-3 < b-3

0 ≤ (a-3)² < (b-3)² car la fct carrée est  croissante sur [0;+inf[ donc on ne change pas le sens de l'inégalité en élevant au carré.

0 ≤ (a-3)²-2 < (b-3)²-2 car le fait d'ajouter "-2" ne change pas le sens de l'inégalité.

0 ≤ g(a) < g(b)

Sur [3;+inf[  est parti de a < b pour arriver à g(a) < g(b) , ce qui prouve que la fct g(x) est croissante sur cet intervalle.

Exo 2 :  

Je te fais juste la factorisation :

f(x)=(2x-3)(4x+2)+(2x-3)(-6x-1)

f(x)=(2x-3)[(4x+2)+(-6x-1)]=(2x-3)(-2x+1)

g(x) peut s'écrire :

g(x)=((3x-4)(5x-1)-(3x-4)(3x-4)

g(x)=(3x-4)[(5x-1)-(3x-4)]=(3x-4)(5x-1-3x+4)

Tu finis.

Exo 3 :

1) Ces 2 nbs sont > 0 et sur [0;+inf[ la fct carrée est croissante donc

1.25 < 2.25 ==>(1.25)² < (2.25)²

2)

Sur ]-inf;0] , la fct carrée est décroissante donc :

-0.7 > -0.82 ==> (-0.7)² < (-0.082)²

3)

Comme en 1) donc :

pi-2 < pi+1 ==>(pi-2)² < (pi+1)²

4)

pi-1  < 4 et ces 2 nbs ∈[0;+inf[ donc :

(pi-1)² < 4² soit (pi-1)² < 16

Exo 4 :

Je fais seulement ce qui concerne le second degré :

(2x+3)(4x-5)=0

2x+3= 0 OU 4x-5=0

Tu finis.

(4x-7)(9x+5)=(8x-3)(4x-7)

(4x-7)(9x+5)-(8x-3)(4x-7)=0 -->mise en facteur :

(4x-7)[(9x+5)-(8x-3)]=0

(4x-7)(x+8)=0

4x-7=0 OU x+8=0

Tu finis.

(3x+2)(4x-8) ≥ 0

(3x+2)(4)(x-2) ≥ 0

4(3x+2)(x-2) ≥ 0

On fait un tableau de signes pour avoir le signe de : (3x+2)(x-2)

3x+2 >  0 pour x > -2/3 et x-2> 0 pour x > 2

x--------------->-inf.................-2/3.....................2........................+inf

(3x+2)-------->............-............0............+...................+.....................

(x-2)----------->...........-..........................-............0..........+............

(3x+2)(x-2)--->........+...............0...........-............0..................+.............

S=]-inf;-2/3] U [2;+inf[

49-(3+x)² ≤ 0

7²-(3+x)² ≤ 0 --->on a : a²-b²=(a+b(a-b)

[7+(3+x)][[7-(3+x)] ≤ 0

(x+10) (4-x) ≤ 0

Tu fais un tableau de signes comme je viens de faire et tu vas trouver :

S=]-inf;-10] U [4;+inf[

Exo 5 :

Le côté mesure (2x+7) donc la demi-base qui est perpendiculaire à la hauteur mesure : (2x+7)/2 soit x+3.5

On applique Pythagore dans le triangle rectangle dont l'hypoténuse mesure (2x+7) et les côtés de l'angle droit :

(5x-4) et (x+3.5)

Pythagore donne :

(5x+4)²+(x+3.5)²=(2x+7)²

25x²+40x+16+x²+14x+12.25=4x²+28x+49

26x²-x²+54x-28x+28.25-49=0

25x²+26x-20.75=0

Tu rentres la fct f(x)=25x²+26x-20.75 dans ta calculatrice et tu cherches les valeurs positives  qui annulent  f(x) avec :

Debtable : 0

PasTable =1

Tu  vas trouver :

0 < x < 1

Car f(0) < 0 et f(0) > 0

Puis :

Debtable=0

PasTable=0.1

Tu vas trouver :

0.5 < x < 0.6

Car f(0.5) < 0 et f(0.6) > 0.

Tu continues :

PasTable=0.5

PasTable=0.01

Etc. Encore une étape !!

x ≈ 0.529 (arrondi au millième)

Bon courage !!