Réponse :

f est définie sur [- 2 ; 2] , par  f(x) = (- 2 x + 1)e¹⁻ˣ²

1) calculer  f '(x)

la fonction f est dérivable sur [- 2 ; 2] et sa dérivée est f '

f '(x) = (u*v)' = u'v + v'u

u(x) = - 2 x + 1  ⇒ u'(x) = - 2

v(x) = e¹⁻ˣ²  ⇒ v'(x) = - 2 xe¹⁻ˣ²

f '(x) = - 2e¹⁻ˣ² + (- 2 x + 1)(- 2 xe¹⁻ˣ²)

       =  - 2e¹⁻ˣ² + 4 x²e¹⁻ˣ² - 2 xe¹⁻ˣ²

f '(x) = (4 x² - 2 x - 2)e¹⁻ˣ²

2) vérifier que f '(x) = 2(x - 1)(2 x + 1)e¹⁻ˣ²

2(x - 1)(2 x + 1)e¹⁻ˣ² = 2(2 x² - x - 1)e¹⁻ˣ² = (4 x² - 2 x - 2)e¹⁻ˣ² = f(x)

3) étudier le signe de f '(x)

f '(x) = 2(x - 1)(2 x + 1)e¹⁻ˣ²   or  e¹⁻ˣ² > 0

le signe de f '(x) dépend du signe de (x - 1)(2 x + 1)

            x      - 2            -1/2               1               2

          x - 1              -                  -       0       +

         2 x + 1           -        0        +                +

           f '(x)             +        0        -       0       +

4) en déduire le tableau de variations de la fonction f sur l'intervalle [-2 ; 2]

            x    - 2                      - 1/2                         1                           2

         f(x)     5e⁻³→→→→→→→→→ 2e³/⁴→→→→→→→→ - 1→→→→→→→→→→→ -3e⁻³

                            croissante           décroissante    croissante  

Explications étape par étape :