Réponse :

Bonjour , on va commencer par modifier l'écriture de g(x)

1) g(x)=e^2x-2e^x+1 c'est une identité remarquable g(x)=(e^x -1)²

je préfère cette écriture à   e^x(2^x-2)+1

Explications étape par étape :

2)Limites

si x  tend vers -oo , e^x tend vers0 donc g(x) tend vers ( -1)²= 1(-)

si x tend vers +oo,  e^x tend vers +oo  donc g(x) tend vers +oo

3)Dérivée

a)g(x) est de la forme[(u(x)]^n sa dérivée est n*u'(x)*[u(x)]^n-1

g'(x)=2(e^x)(e^x-1)

b)le signe de g'(x) dépend uniquement du signe de e^x-1   car 2e^x est>0

g'(x)=0 pour x=0

c) Tableau de signes de g'(x) et de variations de g(x)

x        -oo                                        0                                   +

g'(x)                           -                     0            +

g(x)    +1(-)              Décroi              g(0)          Croi              +oo

g(0)=(1-1)²=0

nota la droite d'équation y=1 est une asymptote horizontale en -oo