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g ' (x) = exp x   - 1 .

exp x   - 1 > 0 donne exp x > 1 donc x > Ln 1 d' où x > 0 .

La dérivée est positive pour x > 0 ; la dérivée est nulle pour x = 0 ; la dérivée est négative ( donc g est décroissante ) pour x < 0 .

tableau :

      x -->    -∞       -3      -2        -1          0        1         2        3       +∞

g ' (x) -->                    -                           0                       +

  g(x) -->    +∞    4,05  3,14    2,37        2     2,72   6,39    18,1    +∞

■ remarque : g(x) toujours positive puisque g(x) ≥ 2 .

partie B :

f(x) = x + 1 + (x/exp x) donne f ' (x) = 1 + (exp x - x*exp x)/exp 2x

                                                      = 1  + (1-x)/ exp x

                                                      = (exp x   + 1 - x) / exp x

                                                      = g(x) / exp x .  

tableau :

     x -->        -1       0        1        2       3        4       5       6    +inf

f ' (x) -->             +   2   +   1                                +                        

  f(x) -->     -2,72     1     2,37   3,27  4,15   5,07  6,03  7,01  +inf

■ remarque :

la courbe représentative de la fonction f approche ( par dessus )

l' asymptote oblique d' équation y = x + 1 .