Réponse :

Explications étape par étape :

Bonjour

1)

tana-tanb=sina/cosa-sinb/cosb=(sinacosb-sinbcosa)/(cosacosb)

tana-tanb=sin(a-b)/(cosacosb)

tana+tanb=sina/cosa+sinb/cosb=(sinacosb+sinbcosa)/(cosacosb)

tana+tanb=sin(a+b)/(cosacosb)

Donc en divisant les 2 :

(tana-tanb)/(tana+tanb)=sin(a-b)/(cosacosb)*cosacosb/sin(a+b)

(tana-tanb)/(tana+tanb)=sin(a-b)/sin(a+b)

2) tan2a=2tana/(1-tan²a)

Donc 1+tana*tan2a=1+2tan²a/(1-tan²a)=(1-tan²a+2tan²a)/(1-tan²a)

1+tana*tan2a=(1+tan²a)/(1-tan²a)

1+tan²a=1+sin²a/cos²a=(cos²a+sin²a)/cos²a=1/cos²a

1-tan²a=1-sin²a/cos²a=(cos²a-sin²a)/cos²a=cos2a/cos²a

Donc :

1/(1+tana*tan2a)=(1-tan²a)/(1+tan²a)=cos2a/cos²a*cos²a=cos2a

3) Sin2a=2sinacosa

Cos2a=cos²a-sin²a=cos²a-(1-cos²a)=2cos²a-1

Donc tana*cos2a=sina/cosa*(2cos²a-1)=2sinacos²a/cosa-sina/cosa

tana*cos2a=2sinacosa-tana=sin2a-tana

Donc sin2a-tana*cos2a=sin2a-(sin2a-tana)=sin2a-sin2a+tana=tana