Réponse :

2) calculer les coordonnées du vecteur AC

         vec(AC) = (3+3 ; 1+1) = (6 ; 2)

3) déterminer par le calcul les coordonnées du point D

  D(x ; y)  est l'image du point B par la translation du vecteur AC  

    ⇔  vec(BD) = vec(AC)  

vec(BD) = (x + 2 ; y + 4)

vec(AC) = (6 ; 2)

x + 2 = 6  ⇔ x = 4   et  y + 4 = 2   ⇔ y = - 2

D(4 ; - 2)

4) calculer les longueurs AD et BC

  vec(AD) = (4+3 ; - 2 + 1) = (7 ; - 1) ⇒  AD² = 7² + (-1)² = 50  ⇒ AD = √50

⇒ AD = 5√2

  vec(BC) = (3+2 ; 1 + 4) = (5 ; 5) ⇒ BC² = 5²+5² = 50  ⇒ BC = 5√2

5) en déduire la nature exacte du quadrilatère ACDB

    d'après la propriété du cours " Si les diagonales d'un parallélogramme sont de la même longueur alors c'est un rectangle."

puisque vec(AC) = vec(BD)  ⇒ ACDB est un parallélogramme

et  AD = BC    donc  ACDB est un rectangle

6) déterminer les coordonnées du point E par le calcul

on note E le point d'intersection des droites (AD) et (BC)

puisque  ACDB est un rectangle donc ses diagonales (AD) et (BC) se coupent au même milieu

E milieu de (AD)  : E((4-3)/2 ; (- 2 - 1)/2) = E(1/2 ; - 3/2)

Explications étape par étape :