Bonjour, pourriez-vous m'aider pour la question 2, 5 et 8 de l'exercice ci-joint. Le n me bloque. Merci d'avance.
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Bonjour, 2) f'n(x)=2+1/n*1/(2racinex)>0 donc fn(x) est croissante 3) fn(0)=-2 et fn(1)=1/n>0 donc comme la fonction est croissante sur 0,1, d'après le th des valeurs intermédiaires fn(x)=0 admet une solution unique. 4) fn(0)<fn(α)<fn(1) donc comme fn est croissante 0<α<1 5) Il faut trouver le signe de fn(α(n+1))=2α(n+1)-2+√(α(n+1))/n on sait que f(n+1)(α(n+1))=2α(n+1)-2+√(α(n+1))/(n+1)=0 les expressions de fn(α(n+1)) et f(n+1)(α(n+1)) sont identique pour les deux premiers termes et diffèrent pour le troisième on va donc étudier le signe de leur différence: fn(α(n+1))-f(n+1)(α(n+1))=√(α(n+1))/n - √(α(n+1))/(n+1) √(α(n+1))/n est clairement strictement supérieur à √(α(n+1))/(n+1) puisqu'ils ont même numérateur et que le dénominateur du 2ème est strictement supérieur au dénominateur du premier. donc fn(α(n+1))>f(n+1)(α(n+1)) . De plus comme f(n+1)(α(n+1))=0 alors fn(α(n+1))>0
6) fn(αn)=0 et fn(α(n+1))>0 donc fn(α(n+1))>fn(αn) comme fn est croissante alors on déduite que α(n+1)>αn donc la suite est croissante. 7) Elle est croissante et majorée par 1 donc elle est convergente.
8) 2αn -2+√(αn)/n=0 donc 2αn=2-√(αn)/n donc αn=1-√(αn)/2n 0<αn<1 0<√(αn)<1 0<√(αn)/n<1/2n lim 1/2n=0 quan n tend vers l'infini lim 0 = 0 donc, d'aprè le th. des gendarmes lim √(αn)/2n =0 donc lim 1-√(αn)/2n = 1 donc lim αn=1
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manonon61
Comment avez-vous fait pour la 2) ? Je ne comprends pas.
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2)
f'n(x)=2+1/n*1/(2racinex)>0
donc fn(x) est croissante
3)
fn(0)=-2 et fn(1)=1/n>0
donc comme la fonction est croissante sur 0,1, d'après le th des valeurs intermédiaires fn(x)=0 admet une solution unique.
4)
fn(0)<fn(α)<fn(1)
donc comme fn est croissante 0<α<1
5)
Il faut trouver le signe de fn(α(n+1))=2α(n+1)-2+√(α(n+1))/n
on sait que f(n+1)(α(n+1))=2α(n+1)-2+√(α(n+1))/(n+1)=0
les expressions de fn(α(n+1)) et f(n+1)(α(n+1)) sont identique pour les deux premiers termes et diffèrent pour le troisième on va donc étudier le signe de leur différence:
fn(α(n+1))-f(n+1)(α(n+1))=√(α(n+1))/n - √(α(n+1))/(n+1)
√(α(n+1))/n est clairement strictement supérieur à √(α(n+1))/(n+1) puisqu'ils ont même numérateur et que le dénominateur du 2ème est strictement supérieur au dénominateur du premier. donc fn(α(n+1))>f(n+1)(α(n+1)) . De plus comme f(n+1)(α(n+1))=0 alors fn(α(n+1))>0
6)
fn(αn)=0 et fn(α(n+1))>0
donc fn(α(n+1))>fn(αn)
comme fn est croissante alors on déduite que α(n+1)>αn donc la suite est croissante.
7)
Elle est croissante et majorée par 1 donc elle est convergente.
8)
2αn -2+√(αn)/n=0
donc 2αn=2-√(αn)/n
donc αn=1-√(αn)/2n
0<αn<1
0<√(αn)<1
0<√(αn)/n<1/2n
lim 1/2n=0 quan n tend vers l'infini
lim 0 = 0
donc, d'aprè le th. des gendarmes lim √(αn)/2n =0
donc lim 1-√(αn)/2n = 1
donc lim αn=1