editions Bonjour,
2)
f'n(x)=2+1/n*1/(2racinex)>0
donc fn(x) est croissante
3)
fn(0)=-2 et fn(1)=1/n>0
donc comme la fonction est croissante sur 0,1, d'après le th des valeurs intermédiaires fn(x)=0 admet une solution unique.
4)
fn(0)<fn(α)<fn(1)
donc comme fn est croissante 0<α<1
5)
Il faut trouver le signe de fn(α(n+1))=2α(n+1)-2+√(α(n+1))/n
on sait que f(n+1)(α(n+1))=2α(n+1)-2+√(α(n+1))/(n+1)=0
les expressions de fn(α(n+1)) et f(n+1)(α(n+1)) sont identique pour les deux premiers termes et diffèrent pour le troisième on va donc étudier le signe de leur différence:
fn(α(n+1))-f(n+1)(α(n+1))=√(α(n+1))/n - √(α(n+1))/(n+1)
√(α(n+1))/n est clairement strictement supérieur à √(α(n+1))/(n+1) puisqu'ils ont même numérateur et que le dénominateur du 2ème est strictement supérieur au dénominateur du premier. donc fn(α(n+1))>f(n+1)(α(n+1)) . De plus comme f(n+1)(α(n+1))=0 alors fn(α(n+1))>0

6)
fn(αn)=0 et fn(α(n+1))>0
donc fn(α(n+1))>fn(αn)
comme fn est croissante alors on déduite que α(n+1)>αn donc la suite est croissante.
7)
Elle est croissante et majorée par 1 donc elle est convergente.

8)
2αn -2+√(αn)/n=0
donc 2αn=2-√(αn)/n
donc αn=1-√(αn)/2n
0<αn<1
0<√(αn)<1
0<√(αn)/n<1/2n
lim 1/2n=0 quan n tend vers l'infini
lim 0 = 0
donc, d'aprè le th. des gendarmes  lim √(αn)/2n =0
donc lim 1-√(αn)/2n = 1
donc lim αn=1